【正文】 。[14]Zhaojun bai Mark Fahey Gene Golub . Some largescale matrix putation problems[J] . Journal of Computational and Applied Mathematics 74（1996）7189。32參考文獻[1]蘇育才，姜翠波，[M].北京：科學出版社，2006；[2]魯琦，陶桂秀，[J].安慶師范學院學報（自然科學版）.2011（01）， 8184；[3][M].成都：四川大學出版社，2008；[4]普豐山，[J].（05）；[5][M]. 北京：；[6]劉慧，袁文燕，[M].北京：；[7]馬紅權，[J].南陽理工學院學報；2011（04），122128；[8][M].北京：；[9][J].西藏大學學報（自然科學版）.2010（02），104107；[10]吳世玕，.[J].全國高校工科數(shù)學課程教學指導委員會。本文主要研究的是矩陣函數(shù)及其應用，所以通過Matlab編寫程序，使一些常用的矩陣函數(shù)，像矩陣指數(shù)函數(shù)、矩陣三角函數(shù)和矩陣冪函數(shù)通過Matlab非常容易的計算出結果，再通過Matlab強大的圖形處理功能將函數(shù)的圖像直觀的顯示出來。一般來說，它們由許多在自己研究領域頗負盛名的專家學者編寫的，所以用戶可以直接選擇自己需要的工具箱，從中選擇對自己有幫助的代碼進行學習，不必完全由自己編寫，這樣不僅能給用戶帶來極大的方便還能提高工作效率，激發(fā)工作激情。同時對一些極少使用的可視化需求，Matlab也有與之匹配的功能函數(shù)，保證了不同用戶的各種需求。Matlab的最新版本有更好的圖形處理功能，使它比一般的數(shù)據(jù)可視化軟件都有的功能（例如描繪和制作二維曲線和三維曲面等）更加完備，更關鍵的是它有很多其他的，別的軟件一般沒有這些功能。更高級別的作圖方式有二維平面圖和三維的立體圖、動態(tài)和表達式作圖等。Matlab對圖形的處理能力也是空前的。函數(shù)能解決很多問題。當對計算結果的限制差不多時，利用Matlab編程將比預期少了很多時間。函數(shù)的算法應用于科學和工程計算的最新研究成果，隨著時間的推移，通過各種優(yōu)化和誤差校正處理不斷擴大和更新現(xiàn)有的數(shù)據(jù)庫。Matlab的代碼庫中有許多算法。如處理信號、組織通信，這些對解決實際問題都有很大作用。由于使用人數(shù)非常多和使用時間非常長，現(xiàn)在代碼庫中可以直接調用的代碼源非常多，每個人都可以根據(jù)需要將自己認為非常有用的代碼放進Matlab函數(shù)庫，已經(jīng)形成了很多經(jīng)典的程序代碼，使用者根據(jù)需要直接在數(shù)據(jù)庫進行下載后就能用。隨之科學技術的發(fā)展，Matlab也與時俱進。Matlab使用的最小單位是矩陣，它使用的代碼的一般形式與工程數(shù)學和控制過程中常用的形式相同，所以分別用Matlab、C、FORTRAN等不同語言解決相同的問題，明顯的Matlab所用的時間比其他語言需要花費的時間少很多，從中不難看出Matlab計算能力強大。它為研究工程、設計科學以及其他對所求的結果數(shù)據(jù)精確度要求非常高的的其他學科提供了一種非常有效的解決途徑，并且在很大程度上改變了為人們所熟悉的一般的程序設計語言（如C、C++）的編程方法。它還提供了一般人很難達到的的信號處理功能，編輯文字的功能，使數(shù)學建模立體化并且根據(jù)需要隨時修改的功能?，F(xiàn)在我們已熟知的Matlab其實是將兩個詞（matrix與laboratory）組合而來的，不難看出有矩陣工廠的意義。Matlab是美國的軟件公司出版的多用數(shù)學軟件，它的功能十分完善，可以說是觸及了方方面面。為了更好地研究本問題，在此對Matlab作一點簡單的介紹?，F(xiàn)代數(shù)學軟件的產(chǎn)生在數(shù)學發(fā)展史上也具有劃時代的意義，它將數(shù)學從傳統(tǒng)的依靠手工并且誤差較大的計算帶到依靠計算機高速并且精確的計算。因為使用這些現(xiàn)代軟件和人們追求高效化的生活目標相契合，所以未來軟件將會發(fā)揮越來越大的作用，軟件將會在各個方面顯示它的優(yōu)越性。使用矩陣函數(shù)能解決很多其他學科難以解決的計算難題并可以將誤差控制在最小范圍內. 5 矩陣函數(shù)與Matlab結合隨著現(xiàn)代科技的飛速發(fā)展，社會上出現(xiàn)了一系列的軟件，有文字編輯類的，有視頻制作類的，有圖形處理類的，還有專門的網(wǎng)絡安全軟件。矩陣函數(shù)在實際生活中的應用非常廣，以上介紹的幾個例子只是其中的一部分。 例4－10 如果一個系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程是 試判斷此系統(tǒng)的能觀測性。 定理4－16 系統(tǒng)完全能觀測的充要條件是矩陣 的秩等于，亦即矩陣 的秩等于。事實上，如果是奇異的，則存在非零維向量，使得 將代入此式便得 這表明對任意，有 若取，則對任意，便有 （）這與當時由式4－20 （）的結果進行對比，說明不可以獨一確定。由此可見，如果（）是非奇異的，那么該系統(tǒng)就是完全能觀的。 定理4－15 系統(tǒng)完全能觀測的充要條件是階對稱矩陣 為非奇異矩陣。因為 故的秩，從而系統(tǒng)不是完全能控的。 例4－9 已知 ，試判別系統(tǒng)是否完全能控?？梢允褂梅醋C的方法，若系統(tǒng)不是完全可以控制的，那么通過定理4－13可以得到矩陣是奇異的，所以式4－19兩邊求次微商可得 （）令得 （）而在式4－19中使，可得，故對于均有 即（是非零向量）。稱為能控性矩陣。這和是非零向量矛盾，所以是非奇異的。如果系統(tǒng)是完全可以控制的，但是是奇異的，則將引出矛盾。 必要性。設非奇異。定理4－13 系統(tǒng)完全能控的充要條件是階對稱矩陣 4－16為非奇異矩陣。那么它就稱作系統(tǒng)。設系統(tǒng)為其中均為常數(shù)矩陣，系數(shù)矩陣是矩陣，輸入矩陣是的矩陣，輸出矩陣是的矩陣，又矩陣是的矩陣。說到信號，它的特征是多方面的。方面1：性別，是男是女。為了對事物有一個全面的認識，都需要從多個方面對事物進行描述，因為每一方面的描述我們不能對這個事物進行全面的認識。在這里介紹一下頻域的基本概念。如果零極點對消，那么系統(tǒng)就有三種假設，可控制但是不可觀測，不可控制但是可以觀測，既不可以控制也不可以觀測。C（SIA）1不存在零極點相消，是完全能觀測的。在現(xiàn)代的控制論中，線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法，約當陣是一個重要的標準，是不可對角化的矩陣。此外,約當陣都包含約當塊，有幾個特征向量就有幾個約當塊，因為每一個特征向量都有對應的約當塊。令P=[ ......Pm+1 Pm+2....Pn],有，表示的逆矩陣，J為約當陣。約當陣的數(shù)學定義：矩陣具有個特征值，它的前m個特征值是相同的，后nm個特征值是不相同的，我們知道前m個相同的特征值對應一個獨立的特征向量，但是后面nm個不一樣的特征值表示的特征向量也是不一樣的。利用對角約當規(guī)范型來判斷。與能控性對應，能觀測性也有三種判斷規(guī)則：利用能觀測性的判定矩陣來判斷。不難看出有關傳遞函數(shù)的理論在現(xiàn)代的控制理論扮演著重要的角色。傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的性質決定的，是獨立的輸入量。如果是在[0,+∞)積分，稱為單側拉普拉斯變換，用表示，它是一個復變函數(shù)。它的功能是主要是轉換，它是以使計算簡單為目的的，主要是真實變量和復雜的變量間變換功能。拉普拉斯變換是通過的連續(xù)時間函數(shù)再通過關系式(式中為自然對數(shù)底的指數(shù))變換為復變量的函數(shù)。引進拉普拉斯變換最明顯長處，是采用了傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)的特征，取代了以前的常系數(shù)微分方程。拉普拉斯變換方法計算出結果的線性微分方程是非常明顯的，因為它可以將微分方程化為代數(shù)方程，所以計算很簡單。拉普拉斯變換是線性變換，它能使一個有引數(shù)實數(shù)（）的函數(shù)變換成引數(shù)為復數(shù)的函數(shù)。一個純虛復數(shù)當它的虛部是角頻率時在傳遞函數(shù)中被稱作頻率響應。根據(jù)傳遞函數(shù)的知識探討和整合控制的系統(tǒng)方法就是頻域法。所以可以先將整體分為幾個部分，先求出每個部分自己的傳遞函數(shù)，再通過一定的邏輯性將這些傳遞函數(shù)組合起來就是我們要求的整體的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是描繪線性系統(tǒng)動態(tài)特點的常用工具，最初產(chǎn)生的控制理論經(jīng)常使用的研究方式是響應頻率法和根軌跡方法，它們都以傳遞函數(shù)為知識基礎。是在最開始的系統(tǒng)中輸出變量的拉氏變換和輸入變量的拉氏變換的商。為了便于理解和后續(xù)研究，在這里介紹一個非常重要的概念，傳遞函數(shù)。狀態(tài)輸入型的傳遞函數(shù)：（SIA）1B無零極點相消現(xiàn)象，它是完全可控的。此狀態(tài)可確定哪個狀態(tài)不可控。滿秩矩陣這個概念非常重要，它能判斷矩陣是否可逆，非奇異矩陣是滿秩矩陣。矩陣的秩: 用初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣,則矩陣中非零行的個數(shù)就定義為這個矩陣的秩,記為。如果的秩為，可控性矩陣Qk=[B AB A2B … AnrB]。可控制性的判別規(guī)則最常用的有三種：通過判定矩陣來判斷能控性。如果任何形式的狀態(tài)變量的輸出系統(tǒng)都充分體現(xiàn)了運動，所代表的系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則稱為觀察。如果可以改變和掌管系統(tǒng)的每一個運動狀態(tài)，并且通過任何一個開始的點都可以到達原來的狀態(tài)空間原點，那么就稱這個系統(tǒng)是完全可控制的。二、能控性與能觀測性的判定線性的系統(tǒng)最基本的結構特征是能控性與能觀測性，它們表示的是系統(tǒng)的輸入輸出與系統(tǒng)內在狀態(tài)量之間的聯(lián)系。 (3)能觀測性表示的是輸出反映狀態(tài)的能力,與控制作用沒有直接的關系，所以在分析能觀測性時，不妨設，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)進行分析。能觀測性定義一般地，對于線性定常系統(tǒng) 如果在的有限時間區(qū)間[，]內，通過觀測,能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，稱系統(tǒng)狀態(tài)在是能觀測的；如果對任意的初始狀態(tài)，可以觀察到，就說系統(tǒng)是完全可觀測的，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)可以觀察或系統(tǒng)可觀察。(3) 若，系統(tǒng)狀態(tài)方程的