16725無窮小量與無窮大量(參考版)
2024-10-03 19:15本頁面
【正文】 )0(~a rc ta n ,1a rc ta nlim 0???xxxx xx所以因?yàn)?)4. l i m 1 , ()xafxgx? ?若 則 稱 ( ) ( ) f x g x x a?與 為 時(shí) 的等價(jià)無窮小量，記作 也就是說，這里的 “ =” 類似于 .”“?.0)(21~c o s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)等價(jià)無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)： ( ) ~ ( ) ( ) , ( ) ~ ( ) ( ) ,f x g x x a g x h x x a??若( ) ( ) ( ) l i m l i m l i m 1 .( ) ( ) ( )x a x a x af x f x g xh x g x h x? ? ?? ? ?前面討論了無窮小量階的比較 , 值得注意的是 , 并 ( ) ~ ( ) ( ) .f x h x x a?那 么 這是因?yàn)? 不是任何兩個(gè)無窮小量都可作階的比較 . 例如 xxsin 與 21x 均為 ???x 時(shí)的無窮小量 , 卻不能 按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較 . 這是因?yàn)? )(s i n1s i n2???? xxxxxx是一個(gè)無界量，并且 (2 π ) s in ( 2 π ) 0 .nn ?下面介紹一個(gè)非常有用的定理： 定理 設(shè)函數(shù) f, g, h 在 ()aU 內(nèi)有定義 , 且 ( ) ~ ( ) ( ) .f x g x x a?( 1 ) l i m ( ) ( ) , l i m ( ) ( ) 。 則稱 與 是 xa? 時(shí)的 同階無窮小量 . ()fx ()gx3. 若兩個(gè)無窮小量在 ()Ua內(nèi)滿足 : () ,()fx Lgx ?則記 ( ) ( ( ) ) ( ) .f x O g x x a??當(dāng) 0?x 時(shí)， x 與 ?????? ? xx 1s in2 是同階無窮小量 . ( ) ,f x x a?為 時(shí) 的 有 界 量 時(shí)我們記 ( ) ( 1 ) ( ) .f x O x a??應(yīng)當(dāng)注意，若 )(,)( xgxf 為 xa? 時(shí)的同階無 窮小量，當(dāng)然有 ( ) ( ( ) ) ( ) .f x O g x x a??反之不一定成立 , 例如 .)0()(1si n ?? xxOxx但是這兩個(gè)無窮小量不是同階的 . 注意： 這里的 ))(()())(()( xgOxfxgoxf ?? 與()xa? 和通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的 右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)．例如 ))(( xgo表示 的所有高階無窮小量的集合． )(xg()xa? ( ) ~ ( ) ( ) .f x g x x a?。)0()1(s i n ?? xox例如： 。 ( ) (
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