16725無(wú)窮小量與無(wú)窮大量(已修改)
2025-10-10 19:15 本頁(yè)面
【正文】 167。 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變量的變化趨勢(shì)來(lái)觀察函數(shù)的極限，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)難于實(shí)現(xiàn)。為此需要介紹極限的運(yùn)算法則。首先來(lái)介紹無(wú)窮小。 一、無(wú)窮小 在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到極限為 0的變量。 對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有理論價(jià)值，值得我們單獨(dú)給出定義 ? 定義 若 ,則稱(chēng)函數(shù) 是無(wú)窮小 . ?無(wú)窮小有以下幾個(gè)性質(zhì)： ? 性質(zhì) 1 若函數(shù) 都是無(wú)窮小，則函數(shù) 也是無(wú)窮小 . ? 性質(zhì) 2 若函數(shù) 是無(wú)窮小 ,函數(shù) 在 的某去心鄰域 有界，則 是無(wú)窮小 . l i m ( ) 0xa fx? ? ( ) ( )f x x a?( ) ( ) ( )f x g x x a?與( ) ( ) ( )f x g x x a??( ) ( )f x x a? ()gxa ()Ua ( ) ( ) ( )f x g x x a?特別是， 若函數(shù) 都是無(wú)窮小，則函數(shù) 也是無(wú)窮小 . l i m ( ) ( ) ( )xa f x b f x b x?? ? ? ? ?( ) ( )x x a? ?( ) ( ) ( )f x g x x a?與( ) ( ) ( )f x g x x a?l i m ( ) l i m ( ( ) ) 0( ) ( ) , ( ) ( ) .l i m ( ) 0x a x axaf x b f x bx f x b f x b xx??????? ? ? ?? ? ? ? ??令 而性質(zhì) 3 極限 其中 是無(wú)窮小 . ? 證明 : ? 性質(zhì) 3指出 :任何形的函數(shù)極限總可將這個(gè)函數(shù)表為它的極限與無(wú)窮小的和，反之亦然 .通常在論證問(wèn)題時(shí)，要去掉極限符號(hào)變?yōu)榈忍?hào)，要應(yīng)用性質(zhì) .因 此函數(shù)極限的性質(zhì)與無(wú)窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是 相同的 . 所以有人把 “數(shù)學(xué)分析” 也稱(chēng)為“無(wú) 窮小分析” . 二、無(wú)窮大量 定義 設(shè)函數(shù) 在 有定義 .若 有 ， 則稱(chēng)函數(shù) 是 無(wú)窮大 ，有時(shí)也稱(chēng)函數(shù) 在 的“極限”是無(wú)窮大，表為 ()fx ()Ua0 , 0 , : 0B x x a??? ? ? ? ? ? ? ?()f x B?( ) ( )f x x a?
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