【正文】 定義 1 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ),[ ??a 上連續(xù)，取ab ? ，如果極限 ????babdxxf )(l i m 存在，則稱此極限為函數(shù) )( xf 在無窮區(qū)間 ),[ ??a 上的廣義積分，記作 ???adxxf )( .? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l im當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散 . 167。 第十二章 反常積分與含參量的積分 類似地，設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],( b?? 上連續(xù)，取ba ? ，如果極限 ????baadxxf )(l i m 存在，則稱此極限為函數(shù) )( xf 在無窮區(qū)間 ],( b?? 上的廣義積分，記作 ???bdxxf )( .? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(l im當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散 . 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ),( ???? 上連續(xù) , 如果廣義積分 ???0)( dxxf 和 ???0)( dxxf 都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù) )( xf 在無窮區(qū)間),( ???? 上的廣義積分，記作 ?????dxxf )( .? ???? dxxf )( ? ??? 0 )( dxxf ? ??? 0 )( dxxf????? 0 )(lim aa dxxf ????? bb dxxf0 )(lim極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散 .例 1 計算廣義積分 .1 2? ???? ? xdx解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1l i m? ?0a r c t a nl i m aa x???? ? ?bb x 0a r c t a nlim ????aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nl i m???? .22 ?????????? ????例 2 計算廣義積分 解 .1s i n12 2? ???dxxx? ???21s i n12 dxxx ???????????? 2 11sin xdx?????????? ???bb xdx2 11s i nlimbb??????????? 21c o sl i m?????? ????? 2co s1co slim ?bb .1?例 3 證明廣義積分 ???11dxx p當 1?p 時收斂，當 1?p 時發(fā)散 .證 ,1)1( ?p ? ??1 1 dxx p ? ??? 1 1 dxx ? ? ??? 1ln x ,???,1)2( ?p ? ??1 1 dxx p???????????111 px p???????????1,111,ppp因此當 1?p 時廣義積分收斂，其值為11?p；當 1?p 時廣義積分發(fā)散 .例 4 證明廣義積分 ??? ?apx dxe 當 0?p 時收斂，當 0?p 時發(fā)散 .證 ? ?? ?apx dxe ? ?????bapxb dxel i mbapxb pe?????? ?? ????lim?????? ?? ????? pepe pbpablim ??????????0,0,pppe ap即當 0?p 時收斂，當 0?p 時發(fā)散 .定義 2 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],( ba 上連續(xù)，而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界．取 0?? ，如果極限????badxxf??)(lim0存在，則稱此極限為函數(shù) )( xf在區(qū)間 ],( ba 上的廣義積分，記作 ?badxxf )( .?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l im 0當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散 .167。 瑕積分 類似地，設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ),[ ba 上連續(xù)，而在點 b 的左鄰域內(nèi)無界 . 取 0?? ，如果極限??????badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù) )( xf在區(qū)間 ),[ ba 上的廣義積分，記作 ?badxxf )( ???????badxxf )(lim0.當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散 .設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上除點 )( bcac ?? 外連續(xù)，而在點 c 的鄰域內(nèi)無界 . 如果兩個廣義積分?cadxxf )( 和 ?bcdxxf )( 都收斂，則定義? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(? ???? ?? ca dxxf )(lim 0 ? ?????? bc dxxf?? )(lim 0否則，就稱廣義積分 ? ba dxxf )( 發(fā)散 .定義中 C為 瑕點 ，以上積分稱為 瑕積分 . 例 5 計算廣義積分 解 ).0(0 22??? axa dxa,1lim 220?????? xaax?ax ?? 為被積函數(shù)的無窮間斷點 .? ?a xa dx0 22 ? ??? ?? ?? a xa dx0 220l i m????? ??????? aax00a r c si nlim ?????? ?????0a r c si nlim0 aa ??.2??例 6 證明廣義積分 ?101dxx q當 1?q 時收斂，當1?q 時發(fā)散 .證 ,1)1( ?q ?? 10 1 dxx ? ?10ln x? ,???,1)2( ?q ?10 1 dxx q1011 ?????????qx q???????????1,111,qqq因此當 1?q 時廣義積分收斂，其值為q?11；當 1?q 時廣義積分發(fā)散 .?10 1 dxx q例 7 計算廣義積分 解 .ln21? xx dx?21 ln xx dx ? ???? 210 lnlim ?? xx dx? ???? 210 ln )( l nl i m ?? xxd ? ? 210 )l n( l nl i m ?? ???? x? ?))1l n( l n ()2l n( l nlim 0 ?? ??? ??.?? 故原廣義積分發(fā)散 . 例 8 計算廣義積分 解 .)1(30 32? ?xdx1?x 瑕點 ? ?30 32)1( x dx ? ? ??? 10 31 32)1()( x dx? ?10 32)1( x dx ? ??? ?? ?? 10032)1(lim xdx3?? ?31 32)1( x dx ? ??? ?? 310 32)1(lim ?? x dx,23 3??? ?? 30 32)1( x dx ).21(3 3??無界函數(shù)的廣義積分（ 瑕積分 ） 無窮限的廣義積分 ? ???? dxxf )( ? ??b dxxf )( ? ??a dxxf )(? ?? ?? ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(（ 注意 ：不能忽略內(nèi)部的瑕點） ?ba dxxf )(小結(jié) 思考題 積分 的瑕點是哪幾點？ ? ?10 1ln dxx x思考題解答 積分 可能的瑕點是 ? ?10 1ln dxx x 1,0 ?? xx1lnlim1 ?? xxx? ,11lim1??? xx 1?? x 不是瑕點 , ? ?? 10 1ln dxx x的瑕點是 .0?x一、 填空題：1 、 廣義積分???1pxdx當 _______ 時收斂；當 ___ ___ 時發(fā)散；2 、 廣義積分?10qxdx當 _______ 時收斂；當 ___ ____ 時發(fā)散；3 、 廣義積分 ???2)( lnkxxdx在 ______ 時收斂；在 ____ ___ 時發(fā)散； 4 、廣義積分 ? ?? ?? ? dxxx 21 =____ ；練 習 題 5 、 廣義積分 ???10 21 xxdx___ __ _ __ ；6 、 廣義積分 ???xdttf )( 的幾何意義是 ______ __ ___ __ _ ___ ___ _ ___ __ ___ _ ___ __ ___ .二、 判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計算廣義積分的值：1 、 ????0co s h td tept )1( ?p ； 2 、 ??????? 222xxdx ；3 、 ????0dxexxn（ 為自然數(shù)n ）； 4 、 ??202)1( xdx；5 、??211xx d x； 6 、 ????022)1(lndxxxx；7 、 ?10ln xdxn.三、 求當 為何值時k ，廣義積分 )()(abaxdxbak???收斂？又 為何值時k ，這廣義積分發(fā)散？四、 已知???????????????x