定積分換元積分法ppt課件(已修改)
2025-01-26 14:36 本頁面
【正文】 定理 假設(shè)（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)；（ 2 ）函數(shù) )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（ 3 ）當(dāng) t 在區(qū)間 ],[ ?? 上變化時， )( tx ?? 的值在 ],[ ba 上變化，且 a?)( ?? 、 b?)( ?? ， 則 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)( .一、換元公式 證 設(shè) )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù)，),()()( aFbFdxxfba ???)],([)( tFt ????dtdxdxdFt ??? ? )( )()( txf ? ?? ),()]([ ttf ? ???),()()()]([ ??????? ??? ?? dtttf)( t?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一個原函數(shù) .a?)(?? 、 b?)( ?? ,)()( ?? ??? )]([)]([ ???? FF ??),()( aFbF ??)()()( aFbFdxxfba ??? )()( ?? ????.)()]([ dtttf? ?? ?? ??注意 當(dāng) ?? ? 時，換元公式仍成立 .應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意 : （ 1） 求出 )()]([ ttf ?? ?的一個原函數(shù) )( t? 后，不必象計算不定積分那樣再要把 )( t? 變換成原變量 x 的函數(shù)，而只要把新變量 t 的上、下限分別代入 )( t? 然后相減就行了 . （ 2） 用 )( tx ?? 把變量 x 換成新變量 t 時，積分限也 相應(yīng)的改變 . 例 1 ? ? ? ?4 1ln1e xdxx?? ? 4 1 l n l ne x d x? ?? ?? ?51ln5115 ?? ex1 40u du? ? ? 5151 105 ?? u 定積分的換元法 換元必須換限 不換元則不變限 湊微分 lndx另解 原式 解 原式 lnux?例 1 ? ? 8 30121dxx??2013 ( 1 )1t d tt? ? ???? ?2203 l n 12ttt??? ? ? ????? 定積分的換元法 換元必須換限 解 令 323 , , 3t x x t dx t dt? ? ?則 0 0 8 , 2x t x t? ? ? ?當(dāng) 時， ；當(dāng) 時22031t dtt? ??原式 ? ?3 2 2 l n 3 3 l n 3? ? ? ?換元 換限 例 1 ? ? 11354x d xx? ??213542uu duu? ????????? ? ?1 231 58u d u? ? ??1331158 3 6uu??? ? ? ????? 定積分的換元法 換元必須換限 解 原式 2115 4 ( 5 ) ,42x u x u d x u d u? ? ? ? ? ?令 ，則1 3 1 1x u x u? ? ? ? ?當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，例 1 ? ? ? ?l n 3201!4!!1xxne d xr n re ???1 23 11duu??321l n 1uu??? ? ????? ? ? ? ?l n 3 2 l n 1 2?
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