【正文】 如果存在上連續(xù)，且在區(qū)間設(shè)函數(shù)比較審斂法　定理????????????????????baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf發(fā)散．分則廣義積或，使得如果存在常數(shù)收斂；則廣義積分存在，使得如果存在常數(shù)上連續(xù)，且在區(qū)間　設(shè)函數(shù)極限審斂法定理７?????????????????????????baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim,0)(],()()2(0000例 6 .ln31 的收斂性判別廣義積分 ? xdx解 的左鄰域內(nèi)無界．被積函數(shù)在點(diǎn) 1?x?由洛必達(dá)法則知 xxxxx 11limln1)1(lim0101 ?????? ,01 ??根據(jù)極限審斂法 2,所給廣義積分發(fā)散 . 例 7 .1s i n31的收斂性判別廣義積分 dxxx?解 也收斂．從而 dxxx? 101s i n收斂，而０??1,11s i nxdxxxx?收斂，dxxx? 101s i n根據(jù)比較審斂原理 , )0()( 0 1 ??? ? ?? ?? sdxxes sx定義特點(diǎn) : 。 無窮限的廣義積分的審斂法 收斂．上有界，則廣義積分在．若函數(shù)且上連續(xù)，在區(qū)間定理１　設(shè)函數(shù)??????????axadxxfadttfxFxfaxf)(),[)()(0)(),[)( 不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法 . 由定理 1，對于非負(fù)函數(shù)的無窮限的廣義積分有以下比較收斂原理． 也發(fā)散．發(fā)散，則且并也收斂；如果收斂，則并且上連續(xù)，如果區(qū)間在、設(shè)函數(shù)比較審斂原理　定理??????????????????????????aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),[)()()(2證 .)()()()()()(0????????????????ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收斂，得及，由設(shè)上有上界．在即 ),[)()( ??? ? adxxfbF ba由定理１知 收斂．? ??a dxxf )(.)(,)(),()(0必定發(fā)散則發(fā)散且如果????????aadxxfdxxgxfxg也收，這與假設(shè)矛盾．收斂，由第一部分知如果??????aadxxgdxxf)()(?例如， ??????? ??時(shí)發(fā)散．當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)廣義積分11)0(Ppaxdxa p發(fā)散．則，使得常數(shù)收斂；如果存在則，使得及存在常數(shù)如果上連續(xù)，且在區(qū)間設(shè)函數(shù)比較審斂法１　定理???????????????????????aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10.0)()0(),[)()(3例１ .11 3 4的收斂性判別廣義積分 ? ?? ?x dx解 ,111103/43 43 4 xxx ????? ,134 ??p根據(jù)比較審斂法１， .11 3 4收斂廣義積分 ? ?? ?x dx發(fā)散．則或如果收斂；存在，則使得，如果存在常數(shù)上連續(xù)，且在區(qū)間設(shè)函數(shù)極限審斂法１　定理?????????????????????????axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim)()0(),[)()(4例２ .11 2的收斂性判別廣義積分 ? ?? ? xx dx解 ,11 1lim 22 ?????? xxxx? 所給廣義積分收斂． 例３ .11 22/3的收斂性判別廣義積分 dxxx? ?? ?解 2222/31lim1lim xxxxxxxx ?????????? ,???根據(jù)極限審斂法１，所給廣義積分發(fā)散． 例４ .ar c t an1 的收斂性判別廣義積分 dxxx? ??解 xx xxxxar c t anlimar c t anlim???????,2??根據(jù)極限審斂法１，所給廣義積分發(fā)散． 也收斂．收斂；則如果上連續(xù)，在區(qū)間　設(shè)函數(shù)定理????????aadxxfdxxfaxf)()(),[)(5證 ).)()((21)( xfxfx ???令,)()(0)( xfxx ?? ?? ，且? ,)( 收斂dxxfa? ??.)( 也收斂dxxa? ??? ? ,)()(2)( xfxxf ?? ?但,)()(2)( ??? ??? bababa dxxfdxxdxxf ?.)()(2)( ??? ?????? ?? aaa dxxfdxxdxxf ?即 收斂 . .)(5稱為絕對收斂條件的廣義積分滿足定理定義 ???adxxf必定收斂．絕對收斂的廣義積分 ? ??a dxxf )(例 5 .)0,(s i n0的收斂性常數(shù)都是判別廣義積分???? ?abadxbxe ax解 .,s i n 0 收斂而 ? ?? ??? ? dxeebxe axaxax?.s i n0 收斂? ?? ?? dxbxe ax所以所給廣義積分收斂 . 167。 當(dāng) 時(shí) , 是以 為瑕點(diǎn)的無界函數(shù) 反常積分 . 應(yīng)用柯西判別法可證得當(dāng) 0 , 0pq??時(shí) 這兩個(gè)無界函數(shù)反常積分都收斂 . 所以函數(shù) B ( , )pq的定義域?yàn)? 0 , 0 .pq??B ( , )pq 0 , 0pq??1. 在定義域 內(nèi)連續(xù) 由于對任何 00 0 , 0pq 成立不等式 001111 0 0 ,( 1 ) ( 1 ) , ,pqpqx x x x p p q q???? ? ? ? ? ?而積分 001 110 ( 1 ) dpqx x x???? 收斂 , 故由 M 判別法知 B ( , )pq 00 ,p p q q? ? ? ? ? ? ? ?在 上一致收斂 . 因 B ( , )pq 0 , 0pq??而推得 在 內(nèi)連續(xù) . 2. 對稱 性 B ( , ) B ( , )p q q p?作變 換 1,xy??得 1 110B ( , ) ( 1 ) dpqp q x x x?????1 110 ( 1 ) d B ( , ) .pqy y y q p??? ? ??3. 遞推公式 1B ( , ) B ( , 1 ) ( 0 , 1 ) , ( 8 )1qp q p q p qpq?? ? ? ???1B ( , ) B ( 1 , ) ( 1 , 0 ) , ( 9 )1pp q p q p qpq?? ? ? ???( 1 ) ( 1 )B ( , ) B ( 1 , 1 )( 1 ) ( 2 )( 1 , 1 ) .pqp q p qp q p qpq??? ? ?? ? ? ???證 下面只證公式 (8), 公式 (9)可由對稱性及公式 (8) 推得 , 而最后一個(gè)公式則可由公式 (8), (9)推得 . 1 110B ( , ) ( 1 ) dpqp q x x x?????1 1 1 201 ( 1 ) ( 1 ) dp p qq x x x x xp? ? ?? ??? ? ? ????111 2 1 10011 ( 1 ) d ( 1 ) dp q p qqq x x x x x xpp? ? ? ???? ? ? ???11B ( , 1 ) B ( , ) ,qq p q p qpp??? ? ?當(dāng) 時(shí) , 有 1 , 1pq??111 200( 1 ) 1 ( 1 ) dpq pqx x q x x xpp????? ? ??移項(xiàng)并整理就得 (8) . 4. B ( , )pq的其他形 式 在應(yīng)用中 B 函數(shù)也常常以如下形式出現(xiàn) : 如令 2c o s ,x ?? 則有 2 1 2 120B ( , ) 2 sin c o s d . ( 1 0 )qppq?? ? ???? ?如令 21d, 1 , d ,1 1 ( 1 )yyx x xy y y? ? ? ?? ? ? 則有 10B ( , ) d .( 1 )ppqyp q yy????? ??11d.( 1 )ppqy yy??????1 ,yt?考 察 令 則有 11 011d d .( 1 ) ( 1 )ppp q p qyt yyyt????????????所以 1110B ( , ) d .( 1 )pqpqyyp q yy???????? B三 、 函數(shù)與 函數(shù)之間的關(guān)系 ,mn當(dāng) 為正數(shù)時(shí) ,反復(fù)應(yīng)用 B 函數(shù)的遞推公式 ,可得 1B ( , ) B ( , 1 )1nm n m nmn???