【正文】 xxxxf2,120,210,0)( ，試用分段函數(shù)表示 ???xdttf )( .一、 1 、 1,1 ?? pp ； 2 、 1,1 ?? qq ； 3 、 1,1 ?? kk ；4 、發(fā)散； 5 、 1 ； 6 、過(guò)點(diǎn) 軸平行于 yx 的直線左邊 , 曲線 )( xfy ? 軸和 x 所圍圖形的面積 .二、 1 、12?pp； 2 、 ? ； 3 、 !n ； 4 、發(fā)散； 5 、322 ； 6 、 0 ； 7 、 !)1( nn? .三、當(dāng) 1?k 時(shí)收斂于kabk???1)(11； 當(dāng) 1?k 時(shí)發(fā)散 .四、???????????????????xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.練習(xí)題答案 167。 無(wú)窮限的廣義積分的審斂法 收斂．上有界，則廣義積分在．若函數(shù)且上連續(xù)，在區(qū)間定理１　設(shè)函數(shù)??????????axadxxfadttfxFxfaxf)(),[)()(0)(),[)( 不通過(guò)被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法 . 由定理 1，對(duì)于非負(fù)函數(shù)的無(wú)窮限的廣義積分有以下比較收斂原理． 也發(fā)散．發(fā)散，則且并也收斂；如果收斂，則并且上連續(xù)，如果區(qū)間在、設(shè)函數(shù)比較審斂原理　定理??????????????????????????aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),[)()()(2證 .)()()()()()(0????????????????ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收斂，得及，由設(shè)上有上界．在即 ),[)()( ??? ? adxxfbF ba由定理１知 收斂．? ??a dxxf )(.)(,)(),()(0必定發(fā)散則發(fā)散且如果????????aadxxfdxxgxfxg也收，這與假設(shè)矛盾．收斂，由第一部分知如果??????aadxxgdxxf)()(?例如， ??????? ??時(shí)發(fā)散．當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)廣義積分11)0(Ppaxdxa p發(fā)散．則，使得常數(shù)收斂；如果存在則，使得及存在常數(shù)如果上連續(xù)，且在區(qū)間設(shè)函數(shù)比較審斂法１　定理???????????????????????aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10.0)()0(),[)()(3例１ .11 3 4的收斂性判別廣義積分 ? ?? ?x dx解 ,111103/43 43 4 xxx ????? ,134 ??p根據(jù)比較審斂法１， .11 3 4收斂廣義積分 ? ?? ?x dx發(fā)散．則或如果收斂；存在，則使得，如果存在常數(shù)上連續(xù)，且在區(qū)間設(shè)函數(shù)極限審斂法１　定理?????????????????????????axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim)()0(),[)()(4例２ .11 2的收斂性判別廣義積分 ? ?? ? xx dx解 ,11 1lim 22 ?????? xxxx? 所給廣義積分收斂． 例３ .11 22/3的收斂性判別廣義積分 dxxx? ?? ?解 2222/31lim1lim xxxxxxxx ?????????? ,???根據(jù)極限審斂法１，所給廣義積分發(fā)散． 例４ .ar c t an1 的收斂性判別廣義積分 dxxx? ??解 xx xxxxar c t anlimar c t anlim???????,2??根據(jù)極限審斂法１，所給廣義積分發(fā)散． 也收斂．收斂；則如果上連續(xù)，在區(qū)間　設(shè)函數(shù)定理????????aadxxfdxxfaxf)()(),[)(5證 ).)()((21)( xfxfx ???令,)()(0)( xfxx ?? ?? ，且? ,)( 收斂dxxfa? ??.)( 也收斂dxxa? ??? ? ,)()(2)( xfxxf ?? ?但,)()(2)( ??? ??? bababa dxxfdxxdxxf ?.)()(2)( ??? ?????? ?? aaa dxxfdxxdxxf ?即 收斂 . .)(5稱為絕對(duì)收斂條件的廣義積分滿足定理定義 ???adxxf必定收斂．絕對(duì)收斂的廣義積分 ? ??a dxxf )(例 5 .)0,(s i n0的收斂性常數(shù)都是判別廣義積分???? ?abadxbxe ax解 .,s i n 0 收斂而 ? ?? ??? ? dxeebxe axaxax?.s i n0 收斂? ?? ?? dxbxe ax所以所給廣義積分收斂 . 167。 瑕積分的審斂法 .)(),()()(10)(),()()(10.)(lim,0)(],()()2(60發(fā)散則廣義積分，使得及收斂；如果存在常數(shù)則廣義積分，使得及常數(shù)如果存在上連續(xù)，且在區(qū)間設(shè)函數(shù)比較審斂法　定理????????????????????baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf發(fā)散．分則廣義積或，使得如果存在常數(shù)收斂；則廣義積分存在，使得如果存在常數(shù)上連續(xù)，且在區(qū)間　設(shè)函數(shù)極限審斂法定理７?????????????????????????baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(lim1)(,)()(lim10.)(lim,0)(],()()2(0000例 6 .ln31 的收斂性判別廣義積分 ? xdx解 的左鄰域內(nèi)無(wú)界．被積函數(shù)在點(diǎn) 1?x?由洛必達(dá)法則知 xxxxx 11limln1)1(lim0101 ?????? ,01 ??根據(jù)極限審斂法 2,所給廣義積分發(fā)散 . 例 7 .1s i n31的收斂性判別廣義積分 dxxx?解 也收斂．從而 dxxx? 101s i n收斂，而０??1,11s i nxdxxxx?收斂，dxxx? 101s i n根據(jù)比較審斂原理 , )0()( 0 1 ??? ? ?? ?? sdxxes sx定義特點(diǎn) : 。 .右領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界的時(shí)被積函數(shù)在點(diǎn)當(dāng) ??? xs, 1 1210 11 ?? ?? ???? ?? dxxeIdxxeI sxsx設(shè)。,1)1( 1 是常義積分時(shí)當(dāng) Is ? ,10 時(shí)當(dāng) ?? s167。 1 2 . 5 ??? 函 數(shù) 與 函 數(shù)167。 歐拉積分 在本節(jié)中我們將討論由含參量反常積 分 定義的兩個(gè)很重要的非初等函數(shù) —— 一、 函數(shù) ??函數(shù) 二、 ??? 函數(shù)和 ?? 函數(shù) . 三、 函數(shù)與 ?? 函數(shù) 之間的關(guān)系 ??一 ． ?? 函 數(shù) 含參量積分： ?? ????? 10( ) e d , 0 , ( 1 )sxs x x s?稱為格馬函數(shù) . ? 函數(shù)可以寫成如下兩個(gè)積分之和： ??? ? ? ?? ? ? ???1 1101( ) e d e d ( ) ( ) ,s x s xs x x x x I s J s?( ) 1I s s ?當(dāng) 01s??其中 時(shí)是正常積分 ,當(dāng) 時(shí)是收斂 的無(wú)界函數(shù)反常積分 (可用柯西判別法推得 )。 ( ) 0J s s當(dāng) ?時(shí)是收斂的無(wú)窮限反常積分 (也可用柯西 判別法推得 ). 所以含參量積分 (1)在 0s? 時(shí)收斂 , ? ?即 函數(shù)的定義域?yàn)? . ()s? 0s?1. 在定義域 內(nèi)連續(xù)且有任意階導(dǎo)數(shù) [ , ] ( 0 )a b a ? ( ) ,Is在任何閉區(qū)間 上 , 對(duì)于函數(shù) 當(dāng) 01x?? 11e e ,s x a xxx? ? ? ?? 1 10 edaxxx???時(shí)有 由于 收 ()Is [ , ]ab斂 , 從而 在 上也一致收斂 , ( ) ,Js對(duì)于 當(dāng) 0s? 上連續(xù) . 用上述相同的方法考察積分 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ???? 1100 e d e ln d .s x s xx x x x xs它在任何區(qū)間 [ , ] ( 0 )a b a ?上一致收斂 . 于是由定理 ()s? [ , ]ab ()s? 在 上可導(dǎo) , 由 a, b的任意性 , 1 x? ? ?? 11e e ,s x b xxx? ? ? ?? 11 edbxxx?? ???時(shí) , 有 由于 ()s? 在 收斂 ,從而 ()Js [ , ]ab在 上也一致收斂 , 于是 10( ) e ln d , 0 .sxs x x x s? ?? ??? ???同理可證 ( ) 10( ) e ( ln ) d , 0,