【正文】 ? ? ? ?即應(yīng)用遞推公式 (3) n次 可以得到 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )s s s s s s? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?( 1 ) ( ) ( ) . ( 4 )s s s n s n?()s? 01s??公式 (3)還指出 , 如果已知 在 上的值 , 那 么 在其他范圍內(nèi)的函數(shù)值可由它計算出來 . 若 s為正整數(shù) n+1,則 (4)式可寫成 0( 1 ) ( 1 ) 2 1 ( 1 ) ! e d ! . ( 5 )xn n n n x n?? ?? ?? ? ? ? ? ? ??3. ? 函數(shù)圖象的討論 ( ) ( )ss?? ??和 ()s?對一切 0s? , 恒大于 0, 因此 的圖形 x ( 1 ) ( 2 ) 1???? ，位于 軸上方 , 且是向下凸的 . 因?yàn)? ()s? 0s? ?00 ( 1 2 ) .xx且，所 以 在 上存在唯一的極小點(diǎn) 0l i m ( 1 ) ( 1 ) 1 ,s s???? ? ? ?故有 00( 1 )lim ( ) lim .sssss??????? ? ? ? ?()s? 0( , )x ??由 (5)式及 在 上嚴(yán)格增可推得 ()s? 0(0, )x 0( , )x ??在 內(nèi)嚴(yán)格減 。 含參量正常積分 對多元函數(shù)其中的一個自變量進(jìn)行積分形成的函數(shù)稱為含參量積分 , 它可用來構(gòu)造新的非初等函數(shù) . 含參量積分包含正常積分和非正常積分兩種形式 . 一、含參量正常積分的定義 五、例題 四、含參量正常積分的可積性 三、含參量正常積分的可微性 二、含參量正常積分的連續(xù)性 一、含參量正常積分的定義 ( , )f x y [ , ] [ , ]R a b c d??設(shè) 是定義在矩形區(qū)域 上的 定義在 [ , ]cd上以 y 為自變量的一元函數(shù) . 倘若這時 ( , )f x y [ , ]cd在 上可積 , 則其積分值 ( ) ( , ) d , [ , ] ( 1 )dcI x f x y y x a b???是定義在 [ , ]ab上的函數(shù) . 一般地 , 設(shè) ( , )f x y為定義在區(qū)域 二元函數(shù) .當(dāng) x取 [ , ]ab上的定值時 ,函數(shù) 是 ( , )f x y? ? ? ? ?{ ( , ) | ( ) ( ) , }G x y c x y d x a x b上的二元函數(shù) , 其中 c (x), d (x)為定義在 [ , ]ab上的連 續(xù)函數(shù) (圖 191), 19 1?圖OyxbaG()y c x?()y d x?[ , ]ab ( , )f x y若對于 上每一固定的 x 值 , 作為 y 的函 數(shù)在閉區(qū)間 [ ( ) , ( ) ]c x d x 上可積 , 則其積分值 ()()( ) ( , ) d , [ , ] ( 2 )dxcxF x f x y y x a b???是定義在 [ , ]ab 上的函數(shù) . ()Ix ()Fx用積分形式 (1) 和 (2) 所定義的這函數(shù) 與 通稱為定義在 [ , ]ab上的含參量 x 的 (正常 )積分 , 或 簡稱為含參量積分 . 二、含參量正常積分的連續(xù)性 ()Ix 的 連 續(xù) 性 ( , )f x y定理 ( ) 若二元函數(shù) 在矩 形區(qū)域 [ , ] [ , ]R a b c d?? 上連續(xù) , 則函數(shù) ? ?( ) ( , ) ddcI x f x y y在 [ a , b]上連續(xù) . 證 設(shè) 對充分小的 [ , ],x a b? , [ , ]x x x a b??有??(若 x 為區(qū)間的端點(diǎn) , 則僅考慮 00xx????或), 于是 ( ) ( ) [ ( , ) ( , ) ] d , ( 3 )dcI x x I x f x x y f x y y? ? ? ? ????由于 ( , )f x y在有界閉區(qū)域 R上連續(xù) , 從而一致連續(xù) , 0,? ? 0,? ?即對任意 總存在 對 R內(nèi)任意兩點(diǎn) 1 1 2 2( , ) ( , )x y x y與 ，只要 1 2 1 2| | , | | ,x x y y??? ? ? ?就有 ??1 1 2 2| ( , ) ( , ) | . ( 4 )f x y f x y ?所以由 (3), (4)可得 , | | ,x ??當(dāng)時?? ? ? ? ??| ( ) ( ) | | ( , ) ( , ) | ddcI x x I x f x x y f x y y??d ( ) .dc x d c??? ? ??即 I (x) 在 [ , ]ab 上連續(xù) . 同理可證 : 若 ( , )f x y在矩形區(qū)域 R上連續(xù) ,則含參 量 y 的積分 ? ?( ) ( , ) d ( 5 )baJ y f x y x在 [c ,d ]上連續(xù) . 注 1 對于定理 : 若 ( , )f x y在矩形區(qū)域 R 上連續(xù) ,則對任何 ?0 [ , ] ,x a b都有 ?? ???00lim ( , ) d lim ( , ) d .ddccx x x xf x y y f x y y這個結(jié)論表明 ,定義在矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) ,其極 限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序是可以交換的 . [ , ] [ , ] [ , ] ,a b c d c d? ? ?上 連 續(xù) 可 改 為 在 上 連 續(xù) 其 中? 為任意區(qū)間 . 注 2 由于連續(xù)性是局部性質(zhì) , 定理 f 在()Fx 的 連 續(xù) 性 ( , )f x y定理 ( ) 若二元函數(shù) 在區(qū) 域 ? ? ? ? ?{ ( , ) | ( ) ( ) , }G x y c x y d x a x b上連續(xù) , 其 中 c(x), d(x)為 [ , ]ab上的連續(xù)函數(shù) , 則函數(shù) ? ? ()()( ) ( , ) d ( 6 )dxcxF x f x y y在 [ , ]ab上連續(xù) . 證 對積分 (6)用換元積分法 , 令 ( ) ( ( ) ( ) ) .y c x t d x c x? ? ?當(dāng) y 在 c(x)與 d(x)之間取值時 , t 在 [0, 1] 上取值 , 且 d ( ( ) ( ) ) d .y d x c x t??所以從 (6)式可得 ? ? ()()( ) ( , ) ddxcxF x f x y y10 ( , ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) d .f x c x t d x c x d x c x t? ? ? ??由于被積函數(shù) ? ? ?( , ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) )f x c x t d x c x d x c x在矩形區(qū)域 [ , ] [ 0 , 1 ]ab ?上連續(xù) , 由定理 (6)所確定的函數(shù) F(x) 在 [a, b]連續(xù) . 三、含參量正常積分的可微性 ()Ix 的 可 微 性( , )f x y定理 ( ) 若函數(shù) 與其偏導(dǎo) ( , )xf x y [ , ] [ , ]R a b c d??數(shù) 都在矩形區(qū)域 上連續(xù) , 則函數(shù) ? ?( ) ( , ) ddcI x f x y y在 [ , ]ab上可微 , 且 d ( , ) d ( , ) d .dddxccf x y y f x y yx ???[ , ]ab ?? [ , ]x x a b?證 對于 內(nèi)任意一點(diǎn) x, 設(shè) (若 x為 區(qū)間的端點(diǎn) , 則討論單側(cè)函數(shù) ), 則 ? ? ? ?? ?( ) ( ) ( , ) ( , ) cI x x I x f x x y f x y yxx??由微分學(xué)的拉格朗日中值定理及 ( , )xf x y在有界閉 域 R上連續(xù) (從而一致連續(xù) ),對 0 , 0 ,??? ? ? ?只要 x ?? 時 ，? 就有 ?? ?( , ) ( , ) ( , )xf x x y f x y f x yx??( , ) ( , ) ,xxf x x y f x y???? ? ? ?( 0 , 1 ) .?其中 因此?? ? ( , ) dd xcI f x y yx??????? ( , ) ( , ) ( , ) ddxcf x x y f x y f x y yx??( ) .dc???? [ , ] ,x a b這就證明了對一切 有 ??[ , ] [ , ]R a b p q [ , ]ab上連續(xù) , c(x), d(x)為定義在 上 d ( ) ( , ) d .ddxcI x f x y yx ? ?()Fx ( , ) , ( , )xf x y f x y定理 ( 的可微性 ) 設(shè) 在 其值含于 [ p, q]內(nèi)的可微函數(shù) , 則函數(shù) ()()( ) ( , ) ddxcxF x f x y y? ?在 [ , ]ab上可微 , 且 ()()( ) ( , ) d ( , ( ) ) ( )dxxcxF x f x y y f x d x d x??????? ( , ( ) ) ( ) . ( 7 )f x c x c x證 把 F(x) 看作復(fù)合函數(shù) : ( ) ( , , ) ( , ) d ,dcF x H x c d f x y y?? ?( ) , ( ) .c c x d d x??由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變動上限積分的性質(zhì) , 有 d d d()d d dH H c H dFxx x c x d x? ? ?? ? ?? ? ?()()( , ) d ( , ( ) ) ( )( , ( ) ) ( ) .dxxcx f x y y f x d x d xf x c x c x??????注 由于可微性也是局部性質(zhì) , 定理 中條件 f