積分方法與定積分的應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 integrable)，且 稱(chēng)此極限值 ],[ ba? ?????bankiiP xxfdxxf10||)(l i m)(為 從 到 的 定積分 (Definite Integral)。 解：如下圖 (圖 2)所示： ax ? bx ?2xy ?ba ??020 將 到 的線(xiàn)段 等分，並另 代表 拋物線(xiàn) 下由 到 所涵蓋的面積， ，則 ax ? bx ? n kR2xy ? )(n abkax ???))(1( n abkax ????1, . . . . . . .2,1,0 ?? nk? ? ? ?n abn abkn abn ab kaRka ???? ?????? 22 ))1(()(21 2xy ? ax ? bx ?????10nkkRR拋物線(xiàn) 下由 到 所涵蓋的 面積 滿(mǎn)足 ? ? ? ?? ????????? ???????101022 ))1(()(nknknabnabnabnab kaRka22 為方便起見(jiàn)，令 ，則上式推演得 abl ??Rkklanknlnknal ??? ??????10210233222? ??????????101022 )1()1(23322nknknlnal kklaRla n nnnln nnal ???? ??? 3322 6 )12()1()1(233226)12)(1()1(2nnnnlnnnalla ??? ???Rlalla nnn ??????? ))(1()1( 6 13113122))(1()1( 6 13113122 nnn lalla ??????23 令 ，則得 ??n3)(22322 33 )()( abl abaabaallaR ?????????))(3()( 23 )(3 )( 3 abababab abab ?????? ??3)(223)( 33)( abab baba ?? ????由於我們所碰到的大多數(shù)情況為求連續(xù) 函數(shù)下的面積，故我們給以下的定義。 ? ? 4 x) d x( 3 x 2? ? ???? x dxdxxdxxx 43)43( 22)2(4)3(3 2213CxCx ????Cxx ???22321,CC 21 CC ?7 定理 2: 令 g為可微分函數(shù) ,r為不等於 1的實(shí)數(shù) ,則 ? ??? ? ? Cdxxgxg r xgr r1)]([ 1)()]([例 5: 求 解 : 令 ,則 ,利用定理 2 ? ?? dxxxx )34()3( 3304xxxg 3)( 4 ?? 34)( 3 ??? xxgdxxgxgdxxxx ?? ???? )()()34()3( 303304Cxg ?? 31 )]([ 31Cxx ?? ?31 )3( 3148 ? x d xx c o ss i n 10例 6: 求 解 : 令 g(x)=sin x,則 利用定理 2, xxg c o s)( ???? ?? dxxgxgx dxx )()(c oss i n 1010Cxg ??11)(11Cx ??11s i n 119 令定理 2中的 ， 則 ， 定理 2可改寫(xiě)為 uxg ?)(dxxgdu )(??? ??? duudxxgxg rr )()]([Crur????11Crxg r ????1)]([ 1所以用變數(shù)變換的方法可使得計(jì)算 方便許多。 亦稱(chēng)為f(x)的 不定積分 (Indefinite Integral), 其中 稱(chēng)為 積分符號(hào) (Integral Sign),f(x)則稱(chēng)為 積分函數(shù) (Integrand)。 解 : 我們只要找出 在 的任一反微分 F(x),則所有反微分可用 F(x)+C 來(lái)表示 ,其中 C為任意實(shí)數(shù)。 IxxfxF ??? ),()(39。 不定積分 又稱(chēng)為 反微分 (Antiderivative),其定義如下 : ? 定義 1: 若函數(shù) F 在區(qū)間 I 的一次微分 (若 x為左或右端點(diǎn) ,則 F‘(x)為左微分或右微分 ), ? 則稱(chēng) F為 f在區(qū)間 I的 反微分 (Antiderivative)。 例 2: 求 在 的所有反微分。 意即若 , 則 代表 f(x)的所有反微分 ,其中 C為 積分常數(shù) (Integral Constant)。 解 : 3/4)( xxf ?Cxdxx ??? 3/7733/4例 4: 利用定理 1求 解 : 由於 皆為常數(shù) ,故 可用常數(shù) C來(lái)表示積分常數(shù)。 19 例 下由 到 所涵蓋的面積，其中 。 f],[ ba25 令 代表 的任一分割，亦即取 ],[ baPbxxxax n ????? . .. .2101???? iii xxx 為閉區(qū)間 上任一點(diǎn) ix ],[ 1 ii xx ?則稱(chēng) 為 黎曼和 (Rieman Sum)。 fff],[ ba],[ ba],[ ba],[ baf27 微積分基本定理 (the Fundamental theorem of Calaulus) 若由定義 2直接求連續(xù)函數(shù) f 在閉區(qū)間 的定義似乎顯得有點(diǎn)笨拙，我們 希望能找出方便的計(jì)算方法。若 ab，則 定義 )( xfy ??ba dxxf )(?? ?? abba dxxfdxxf )()(我們看看函數(shù) 微分後， 是何種情況？ ?? xa dttfxF )()(hdttfdttfdxxdFhxaxah? ?????)()(lim)(0hdttfhxxh? ???)(l i m030 上圖在斜線(xiàn)部分的區(qū)域 f (x) 的最大值 為 ，最小值為 ，所以 hMhm? ? ?? hxx hh hMdttfhm )(31 上式兩邊同除以 ,可得 hhhhxxhhhMhdttfm??? ??????? ?000l i m)(l i ml i m)()(l i m0xfhdttfhxxh?? ??? ?hhxxh Mhdttfm ?? ??)(32 0?h若 ，則 ? ? ???? x hx hh hMdttfhm )(hhxxhhMdttfhm ?????? ? ? )(hhxxh Mhdttfm ??? ??)(hhhxxhhhMhdttfm??? ??????? ?000l i m)(l i ml i m)()(l i m0xfhdttfhxxh??
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