【正文】 1 32)1()( x dx? ?10 32)1( x dx ? ??? ?? ?? 10032)1(lim xdx3?? ?31 32)1( x dx ? ??? ?? 310 32)1(lim ?? x dx,23 3??? ?? 30 32)1( x dx ).21(3 3??無(wú)界函數(shù)的廣義積分（ 瑕積分 ） 無(wú)窮限的廣義積分 ? ???? dxxf )( ? ??b dxxf )( ? ??a dxxf )(? ?? ?? ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(（ 注意 ：不能忽略?xún)?nèi)部的瑕點(diǎn)） ?ba dxxf )(小結(jié) 思考題 積分 的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ ? ?10 1ln dxx x思考題解答 積分 可能的瑕點(diǎn)是 ? ?10 1ln dxx x 1,0 ?? xx1lnlim1 ?? xxx? ,11lim1??? xx 1?? x 不是瑕點(diǎn) , ? ?? 10 1ln dxx x的瑕點(diǎn)是 .0?x一、 填空題：1 、 廣義積分???1pxdx當(dāng) _______ 時(shí)收斂；當(dāng) ___ ___ 時(shí)發(fā)散；2 、 廣義積分?10qxdx當(dāng) _______ 時(shí)收斂；當(dāng) ___ ____ 時(shí)發(fā)散；3 、 廣義積分 ???2)( lnkxxdx在 ______ 時(shí)收斂；在 ____ ___ 時(shí)發(fā)散； 4 、廣義積分 ? ?? ?? ? dxxx 21 =____ ；練 習(xí) 題 5 、 廣義積分 ???10 21 xxdx___ __ _ __ ；6 、 廣義積分 ???xdttf )( 的幾何意義是 ______ __ ___ __ _ ___ ___ _ ___ __ ___ _ ___ __ ___ .二、 判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計(jì)算廣義積分的值：1 、 ????0co s h td tept )1( ?p ； 2 、 ??????? 222xxdx ；3 、 ????0dxexxn（ 為自然數(shù)n ）； 4 、 ??202)1( xdx；5 、??211xx d x； 6 、 ????022)1(lndxxxx；7 、 ?10ln xdxn.三、 求當(dāng) 為何值時(shí)k ，廣義積分 )()(abaxdxbak???收斂？又 為何值時(shí)k ，這廣義積分發(fā)散？四、 已知???????????????xxxxxf2,120,210,0)( ，試用分段函數(shù)表示 ???xdttf )( .一、 1 、 1,1 ?? pp ； 2 、 1,1 ?? qq ； 3 、 1,1 ?? kk ；4 、發(fā)散； 5 、 1 ； 6 、過(guò)點(diǎn) 軸平行于 yx 的直線左邊 , 曲線 )( xfy ? 軸和 x 所圍圖形的面積 .二、 1 、12?pp； 2 、 ? ； 3 、 !n ； 4 、發(fā)散； 5 、322 ； 6 、 0 ； 7 、 !)1( nn? .三、當(dāng) 1?k 時(shí)收斂于kabk???1)(11； 當(dāng) 1?k 時(shí)發(fā)散 .四、???????????????????xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.練習(xí)題答案 167。 第十二章 反常積分與含參量的積分 類(lèi)似地，設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],( b?? 上連續(xù)，取ba ? ，如果極限 ????baadxxf )(l i m 存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù) )( xf 在無(wú)窮區(qū)間 ],( b?? 上的廣義積分，記作 ???bdxxf )( .? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(l im當(dāng)極限存在時(shí)，稱(chēng)廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱(chēng)廣義積分發(fā)散 . 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ),( ???? 上連續(xù) , 如果廣義積分 ???0)( dxxf 和 ???0)( dxxf 都收斂，則稱(chēng)上述兩廣義積分之和為函數(shù) )( xf 在無(wú)窮區(qū)間),( ???? 上的廣義積分，記作 ?????dxxf )( .? ???? dxxf )( ? ??? 0 )( dxxf ? ??? 0 )( dxxf????? 0 )(lim aa dxxf ????? bb dxxf0 )(lim極限存在稱(chēng)廣義積分收斂；否則稱(chēng)廣義積分發(fā)散 .例 1 計(jì)算廣義積分 .1 2? ???? ? xdx解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1l i m? ?0a r c t a nl i m aa x???? ? ?bb x 0a r c t a nlim ????aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nl i m???? .22 ?????????? ????例 2 計(jì)算廣義積分 解 .1s i n12 2? ???dxxx? ???21s i n12 dxxx ???????????? 2 11sin xdx?????????? ???bb xdx2 11s i nlimbb??????????? 21c o sl i m?????? ????? 2co s1co slim ?bb .1?例 3 證明廣義積分 ???11dxx p當(dāng) 1?p 時(shí)收斂，當(dāng) 1?p 時(shí)發(fā)散 .證 ,1)1( ?p ? ??1 1 dxx p ? ??? 1 1 dxx ? ? ??? 1ln x ,???,1)2( ?p ? ??1 1 dxx p???????????111 px p???????????1,111,ppp因此當(dāng) 1?p 時(shí)廣義積分收斂，其值為11?p；當(dāng) 1?p 時(shí)廣義積分發(fā)散 .例 4 證明廣義積分 ??? ?apx dxe 當(dāng) 0?p 時(shí)收斂，當(dāng) 0?p 時(shí)發(fā)散 .證 ? ?? ?apx dxe ? ?????bapxb dxel i mbapxb pe?????? ?? ????lim?????? ?? ????? pepe pbpablim ??????????0,0,pppe ap即當(dāng) 0?p 時(shí)收斂，當(dāng) 0?p 時(shí)發(fā)散 .定義 2 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],( ba 上連續(xù)，而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界．取 0?? ，如果極限????badxxf??)(lim0存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù) )( xf在區(qū)間 ],( ba 上的廣義積分，記作 ?badxxf )( .?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l im 0當(dāng)極限存在時(shí)，稱(chēng)廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱(chēng)廣義積分發(fā)散 .167。 .右領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界的時(shí)被積函數(shù)在點(diǎn)當(dāng) ??? xs, 1 1210 11 ?? ?? ???? ?? dxxeIdxxeI sxsx設(shè)。 ( ) 0J s s當(dāng) ?時(shí)是收斂的無(wú)窮限反常積分 (也可用柯西 判別法推得 ). 所以含參量積分 (1)在 0s? 時(shí)收斂 , ? ?即 函數(shù)的定義域?yàn)? . ()s? 0s?1. 在定義域 內(nèi)連續(xù)且有任意階導(dǎo)數(shù) [ , ] ( 0 )a b a ? ( ) ,Is在任何閉區(qū)間 上 , 對(duì)于函數(shù) 當(dāng) 01x?? 11e e ,s x a xxx? ? ? ?? 1 10 edaxxx???時(shí)有 由于 收 ()Is [ , ]ab斂 , 從而 在 上也一致收斂 , ( ) ,Js對(duì)于 當(dāng) 0s? 上連續(xù) . 用上述相同的方法考察積分 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ???? 1100 e d e ln d .s x s xx x x x xs它在任何區(qū)間 [ , ] ( 0 )a b a ?上一致收斂 . 于是由定理 ()s? [ , ]ab ()s? 在 上可導(dǎo) , 由 a, b的任意性 , 1 x? ? ?? 11e e ,s x b xxx? ? ? ?? 11 edbxxx?? ???時(shí) , 有 由于 ()s? 在 收斂 ,從而 ()Js [ , ]ab在 上也一致收斂 , 于是 10( ) e ln d , 0 .sxs x x x s? ?? ??? ???同理可證 ( ) 10( ) e ( ln ) d , 0, 2, 3, .n s x ns x x x s n? ?? ??? ? ??2. 遞推公式 ( 1 ) ( )s s s????對(duì)下述積分應(yīng)用分部積分法 , 有 1000e d e e dAA As x s x s xx x x s x x? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ? 10e e d .As A s xA s x x0s?在 上可導(dǎo) , 且 A ? ?? ()s?讓 就得到 的遞推公式 : ??( 1 ) ( ) . ( 3 )s s s??設(shè) 1 , 0 1 ,n s n s n? ?