經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分定積分的分部積分法(文件)
【正文】 初等形式的原函數(shù)，無法直接求出 )( xf ，所以采用分部積分法10 ( ) dxf x x?1 201 ( ) d ( )2 f x x? ?1201 ()2 x f x??? ??1 201 d ( )2 x f x? ?)1(21 f? 1 201 ( ) d2 x f x x?? ?21sin( ) d ,x tf x tt? ?,s i n22s i n)(222xxxxxxf ????10 ( ) dxf x x? ? )1(21 f? 1 201 ( ) d2 x f x x?? ?1 201 2 sin d2 x x x?? ?1 2201 sin d2 xx?? ?? ?102co s21 x? ).11( c o s21 ??11sin( 1 ) d 0,tftt???例 5 證明定積分公式 π π2200sin d c o s dnnnI x x x x????1 3 3 1 π,2 4 2 21 3 4 2,2 5 3nnnnnnnnnn???? ? ? ? ??? ?? ????? ? ? ?? ??為正偶數(shù) 為大于 1的正奇數(shù) 證 設(shè) ,s i n 1 xu n ?? s in d ,d v x x?2d ( 1 ) s in c o s d ,nu n x x x??? ,c o s xv ??221 2 20 0sin c o s ( 1 ) sin c o s dnnnI x x n x x x??????? ? ? ??? ?x2s in1 ?022200( 1 ) sin d ( 1 ) sin dnnnI n x x n x x???? ? ? ???nn InIn )1()1( 2 ???? ?21???nn InnI 積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式 nI42 23?? ???nn InnI ,?? 直到下標(biāo)減到 0或 1為止 ,21436522 322 12 02 ImmmmI m ????????? ?,32547612 2212 2 112 Immm mI m ?????????? ?),2,1( ??m20 0 d,2Ix? ????21 0 sin d 1 ,I x x????,221436522 322 122 ??????????? ?mmmmI m.32547612 2212 212 ?????????? ?mmm mI m于是 例 6 620 sin d .xx??解 620 5 3 1 πsi n d .6 4 2 2xx? ???????例 7 計(jì)算 解 ? ?1, 0 1 d N .nmmnI x x x m n? ? ?? ， ，? ? 11, 0 1d 1mnmn xIx m ??? ??? ? ? ?1 1 1110 01 1 d11mnn mxnx x x xmm ? ??? ? ? ??? ?1,1, 1 ????? nmnm ImnI? ?? ?? ? ? ? 0,21121nmInmmmnn????????????? ?10!! d!mnnm xxmn??? ?? ? .!1!!??? nmmn例 8 證明 證明 π π22001si n c os d c os d .2n n nnx x x x x???? ?π π1si n c os d si n 2 d2n n nnx x x x x?π1 01 sin d2nn uu?? ? 2ux?π21 01 2 si n d2nn uu?? ? ? ?π π220011c os d c os d .22nnnn u u x x????定積分的分部積分公式 ? ?d d .bbbaa au v uv v u????二、小結(jié) （注意與不定積分分部積分法的區(qū)別） 思考題 設(shè) )( xf ?? 在
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