經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分不定積分復(fù)習(xí)資料(文件)
【正文】 下列結(jié)論正確的是（ ） （ A ） 初等函數(shù)必存在原函數(shù)； （ B ） 每個(gè)不定積分都可以表示為初等函數(shù)； （ C ） 初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)； （ D ） CBA ,都不對(duì) . 5 ． 函數(shù) 2)()( xxxf ??的一個(gè)原函數(shù)?)( xF( ) （ A ）334x。1fx xx?6. 第二類換元法 定理 2 設(shè) )( tx ?? 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且 0)( ?? t? ，又設(shè) )()]([ ttf ?? ? 具有原函數(shù)，則有換元公式 ()( ) d [ ( ) ] ( ) d txf x x f t t t ??? ??? ?? ????其中 )( x? 是 )( tx ?? 的反函數(shù) .第二類換元公式 常用代換 : ? ?.s i n,)(.122 taxxaxf ??? 令如三角函數(shù)代換? ? .tx ?令倒置代換? ?.,)(.3nn baxtbaxxf ???? 令如簡(jiǎn)單無理函數(shù)代換 分部積分公式 ddu v x u v u v x??????ddu v u v v u???? u的有效方法 :LIATE選擇法 L對(duì)數(shù)函數(shù)； I反三角函數(shù)； A代數(shù)函數(shù)； T三角函數(shù)； E指數(shù)函數(shù)； 哪 個(gè)在前哪個(gè)選作 u. 9. 有理函數(shù)的積分 定義 兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之 mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP?????????????11101110)()(??其中 m 、 n 都是非負(fù)整數(shù)； naaa , 10 ? 及mbbb , 10 ? 都是實(shí)數(shù)，并且 00 ?a ， 00 ?b .真分式化為部分分式之和的 待定系數(shù)法 四種類型分式的不定積分 ?? d1 . ln 。fx xx? ?5 ( si n ) c os d 。主要內(nèi)容 典型例題 第五章 不定積分 習(xí) 題 課 積分法 原 函 數(shù) 選 擇 u 有 效 方 法 基 本 積 分 表 第一換元法 第二換元法 直接 積分法 分部 積分法 不 定 積 分 幾種特殊類型 函數(shù)的積分 一、主要內(nèi)容 1. 原函數(shù) 如果在區(qū)間 I 內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù) )( xF 的導(dǎo)函數(shù)為 )( xf ，即 Ix ?? ，都有 )()( xfxF ?? 或d ( ) ( ) dF x f x x?，那么函數(shù) )( xF 就稱為 )( xf或 ( ) df x x在區(qū)間 I 內(nèi)原函數(shù) . 定義 原函數(shù)存在定理 如果函數(shù) )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間 I 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) )( xF ， 使Ix ?? ， 都有 )()( xfxF ?? . 即： 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)． 2. 不定積分 (1) 定義 在區(qū)間 I 內(nèi)，函數(shù) )( xf 的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為 )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)的 不定積分 ，記為 ? dxxf )( ．( ) d ( )f x x F x C???函數(shù) )( xf 的原函數(shù)的圖形稱為 )( xf 的 積分曲線 . 01 [ ( ) ( ) ] df x g x x??? ( ) d ( ) df x x g x x???(2) 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是 互逆 的 . 02 ( ) dkf x x ?? ( ) dk f x? （ k 是常數(shù)， )0?k(3) 不定積分的性質(zhì) d ( ) d ( )d f x x f xx ?? ???? d [ ( ) d ] ( ) df x x f x x??( ) d ( )F x x F x C? ??? d ( ) ( )F x F x C???3. 基本積分表 ( 1 ) d (k x kx C k??? 是常數(shù) ) 1( 2 ) d ( 1 )1xx x C?? ???? ? ? ???d( 3 ) lnx xCx ???21( 4 ) d1 xx ??? Cx ?ar ctan21( 5 ) d1 xx ??? Cx ?ar c sin( 6 ) c os dxx ?? Cx?sin( 7 ) si n dxx ?? Cx ?? cos( 10 ) se c t an dx x x ?? Cx?sec( 11 ) c sc c ot dx x x ?? Cx ?? csc(12 ) dxex ?? Cex?2d( 8 )c o sxx ?? 2sec dxx ?? Cx?tan2d( 9 )sinxx ?? 2csc dxx ?? Cx ?? cot(13 ) dxax ?? Caax ?ln( 1 4 ) t a n d ln c o sx x x C? ? ??( 1 5 ) c o t d ln sinx x x C???( 1 6 ) se c d ln se c t a nx x x x C? ? ??( 1 7 ) c sc d ln c sc c o tx x x x C? ? ??2211( 1 8 ) d a r c t a n xxCa x a a????2211( 2 0 ) d ln2axxCa a xax??????221( 21 ) d ar c si n xxCaax ????22221( 22 ) dl n ( )xxax x a C?? ? ? ??2211( 1 9 ) d ln2xaxCa x axa??????5. 第一類換元法 4. 直接積分法 定理 1 設(shè) )( uf 具有原函數(shù)， )( xu ?? 可導(dǎo)，則有換元公式[ ( ) ] ( ) df x x x?? ? ?? ()[ ( ) d ] uxf u u ???第一類換元公式（ 湊微分法 ） 由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法 . ? ? 11 ( ) d 。fx xx ? ? 21()4 d 。f x x x? ?2( a r c t a n )8 d 。2M p pppM x N M N xx x p x q Cx p x q qq? ? ?? ? ? ? ??? ????? 22 2 2( 2 ) d4 . d d2( ) ( ) ( )Mpn n nM x N M x p x Nxxx px q x px q x px q? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?此兩積分都可積 ,后者有遞推公式 例 1 23()2 d3( ) 12xxx???原 式解 23 d.94xxxx x??求23d ( )1 233ln ( ) 122xx??? 21d3 1ln 2tt ??1 1 1( ) d3 112 l n2ttt?? ??? Ctt ????? 11ln)2ln3( l n21.23 23ln)2ln3( l n2 1 Cxxxx?????tx ?)23(令二、典型例題 例 2 解 ( 1 sin ) d.1 c o sxexxx???求2( 1 2 sin c os )22 d2 c os2x xxexx?? ?原 式21( t an ) d22 c os2xx xe e xx???[ ( d ( t an ) t an d ]22xxxxee??? d ( t an )2x xe? ?.2ta n Cxe x ??例 3 解 22ln( 1 ) 5 d.1xx xx? ? ???求]5)1[ l n ( 2 ???? xx?,1 1 2x??22ln( 1 ) 5 d [ ln( 1 ) 5 ]x x
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