型線積分和面積分ppt課件(已修改)
2025-05-10 23:22 本頁面
【正文】 2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 1 第 7節(jié) 第二型線積分和面積分 場的概念 對坐標的曲線積分 對坐標的曲面積分 ( Line integrals and Surface integrals of the Second Type ( Line integrals with respect to x,y,and z) (Surface integrals with respect to coordinate elements 2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 2 若 對全空間或其中某一區(qū)域 V 中每一點 M, 都有一 個數(shù)量 (或向量 ) 與之對應(yīng) , 則稱 在 V 上給定了一個 數(shù)量場 (或向量場 ). 例如 : 溫度和密度都是數(shù)量場 , M 的位置可由坐標確定 . 因此給定了某個數(shù)量場就 總是設(shè)它對每 個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) .同理 ,每 重力和速度都是向量場 . 在引進了直角坐標系后 , 點 等于給定了一個 數(shù)量函數(shù) ( , , ),u x y z在 以下討論中 場的概念 2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 3 個向量場都與某個向量函數(shù) ( , , ) ( , , ) i ( , , ) j ( , , ) kA x y z P x y z Q x y z R x y z? ? ?相對應(yīng) . 這里 P, Q, R 為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù) , 并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . 如 ,設(shè)一個質(zhì)點在 處受 點 O 的距離成正比 , F 的大小與 M 到原 F 的方向 力 F 的作用 , 與 OM 垂直且與 y 軸夾銳角 ,則 ?F ( , )k y x?xy2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 4 磁力線等都是向量場線 . 注 場的性質(zhì)是它本身的屬性 , 和坐標系的引進無關(guān) . 引入或選擇某種坐標系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來 進行計算和研究它的性質(zhì) . 則稱曲線 L 為向量場 的 向量場線 . 例如電力線、 A設(shè) L 為向量場中一條曲線 . 若 L 上每點 M 處的切線 d d d ,x y zP Q R??方向都與向量函數(shù) 在該點的方向一致 , 即 A2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 5 梯度場 我們已經(jīng)介紹了梯度的概念 , 它 g r a d i j k .u u uu x y z? ? ?? ? ?? ? ?方向上的方向?qū)?shù) . grad u 是由數(shù)量場 u 派生出來的一個向量場 , 稱為 是由數(shù)量函數(shù) 所定義的向量函數(shù) ( , , )u x y z grad u 的方向就是使方向?qū)? 梯度場 . 由前面知道 , ul??數(shù) 達到最大值的方向 , g ra d u就是在這個方 2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 6 ( , , )u x y z ( , , )u x y z c?因為數(shù)量場 的等值面 的法 線 方向為 , , ,u u ux y z??? ? ???? ? ???所以 grad u 恒與 u 的 等值面 正交 . , , ,x y z? ??? ? ?? ??? ? ???當把它作為運算符號來看待時 , 梯度可寫作 g r a d .uu?? 引進符號向量 2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 7 mr試求 的梯度.解 2 , , .m m x y zr r r r r? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?若以 0r OM表示 上的單位向量 , 則有 02 .mm rrr??? ??????2 2 2 ,r O M x y z? ? ? ?例 1 設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點位于原點 , 質(zhì)量為 1 的質(zhì)點 位于 ( , , ) ,M x y z 記 2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 8 它表示兩質(zhì)點間的引力 , 方向朝著原點 , 大小與質(zhì)量 的乘積成正比 , 與兩點間距離的平方成反比 . mr這說明了引力場是數(shù)量場 的梯度場 , 因此 常稱 mr 為 引力勢 (gravitational potential ). 2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 9 對坐標的曲線積分 1 第二類曲線積分的概念 2 兩類曲線積分的聯(lián)系 3 第二類曲線積分的計算 2022年 5月 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系 10 ? 向量函數(shù) F 其大小和方向都隨點 M變化 ? 有向曲線 指定了方向的曲線 . ～～～～～～～～～～～～ 通常指出起點，終點來表明 . ABL AB?BA?ABL是 向量 ()FM( , ,
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