計算方法-數值積分-插值型積分(已修改)
2025-08-17 17:03 本頁面
【正文】 第 6次 數值積分 插值型積分 誤差 求積公式的收斂性不穩(wěn)定性 計算方法 (Numerical Analysis) 第四章 數值積分 1. 數值積分引論 2. 機械求積方法 3. 以簡單函數近似逼近被積函數方法 插值型求積公式 4. 插值型求積公式的例子 5. 求積公式的收斂性和穩(wěn)定性 數值積分引論 第四章 數值積分 引言 若函數 f(x)在區(qū)間 [a, b]上連續(xù)且其原函數為 F(x),則可用 NewtonLeibnitz公式 : ? ??ba F ( a )F ( b )f ( x ) d x求定積分的值。 ? 評論 ： NewtonLeibnitz公式 無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并丌能完全解決定積分的計算問題。 (1) 被積函數 f(x)沒有用初等函數的有限 形式表示的原 函數 F(x)，例如： dxe 和dx xs i n x 10x102?? ?(2) 被積函數 f(x)的原函數能用初等函數表示， 但表 達式太復雜，例如 的原函數： 32xxf ( x ) 22 ?? 則無法應用 NewtonLeibnitz公式。 在實際計算中經常遇到以下三種情況： )32xxx2l n (216932xx16332xx41F ( x) 22222 ???????(3) 被積函數 f(x)沒有具體的解析表達式 , 其函數 關系由表格或圖形表示。 ? 對于以上情況，通過 NewtonLeibniz公式求原函數計算積分的準確值都是十分困難的。 ? 因而需要研究一種新的積分方法 ：數值解法來建立積分的近似計算方法。 ?將積分區(qū)間紳分 ,在每一個小區(qū)間內用簡單函數代替復雜函數迚行積分，這就是數值積分的思想， ?用代數插值多項式去代替被積函數 f(x)迚行積分是本章討論數值積分的主要內容。 Home 機械求積方法 數值積分概述 ?? ba f ( x ) d xI圖 41 數值積分 的幾何意義 積分值 的幾何表示：由 x=a, x=b, y=0以及 y=f(x)這四條邊所圍的曲邊梯形面積。該面積難于計算是因為它有一條曲邊 y=f(x)。 數值積分的基本思想 y = f(x) y a b 最常用的建立數值積分公式的兩種方法： f(ξ)本段講授機械求積方法 . b][ a ,ξa ) f ( ξ ) ,(bf ( x) d xba????即所求的曲邊梯形的面積 恰好 等于底為 (ba)，高為 的矩形面積。但點 ξ的具體位置是未知的 , 因而 的值也是未知的。 f(ξ)第 1種 ： 機械求積方法 . 第 2種：使用簡單函數近似代替被積函數的方法 由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數 f(x)，在積分區(qū)間 [a, b]內存在一點 ξ，使得 謎 三個求積分公式 y 構造出一些求積分值的近似公式。 則分別得到如下的梯形公式和中矩形公式。 )2baf(f ( ξ ) ??2f ( b)f ( a )f ( ξ ) ??梯形公式中的 f(ξ)y 中矩形公式中的 例如分別?。? f(ξ)① 梯形公式 x a b f ( b) ]a ) [ f ( a )(b21f ( x) dxba????y=f(x) a b 用梯形面積代表積分值 ② 中矩形公式 )2baa ) f ((bf ( x) dxba????y=f(x) a b y x (a+b)/2 a b 用區(qū)間中點的函數值為高的矩形面積代表積分值 y=f(x) y ③ Simpson公式 f ( b) ])2ba4 f (a ) [ f ( a )(b61f ( x ) dxba??????a b Simpson公式是以函數 f(x)在 a, b, (a+b)/2這三點的函數值的加權平均值作為平均高度 f(?). (a+b)/2 Home 以簡單函數近似逼近被積函數方法 插值型求積公式 先用某個簡單函數 近似逼近 f(x), 用 代替原被積函數 f(x)，即 ? ??ba ba ( x) d xf ( x) d x ?? 函數 應該對 f(x)有充分的逼近程度 ,并且容易計算其積分。 第 2種：使用簡單函數近似代替被積函數的方法 (x)?以此構造數值算法。 ? 通常，將 選取為 f(x)的插值多項式 , 這樣f(x)的積分就可以用其插值多項式的積分來近似代替。 (x)?(x)?(x)?要求： 插值求積公式 ???n0kkk ( x))lf ( xP ( x))(xω)x(xω ( x )xxxx( x
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