[理學(xué)]11-1無窮級(jí)數(shù)(已修改)
2025-10-21 17:06 本頁面
【正文】 第十一章 無窮級(jí)數(shù) 從 18世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用 本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ——冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問題展開討論：①級(jí)數(shù)的收斂性判定問題，②把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問題，③級(jí)數(shù)求和問題。 重點(diǎn) 級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，函數(shù)的 Fourier 展開式； 難點(diǎn) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接法和間接法， Fourier 展開，級(jí)數(shù)求和； 基本要求 ① 掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì) ② 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法 ③ 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的 Leibniz審斂法 ④ 掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念 ⑤ 掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂區(qū)間，會(huì)求簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) ⑥ 熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的 Taylor 級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑 ⑦ 掌握 Fourier 級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形式的 Fourier 系數(shù) ⑧ 掌握奇、偶函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù) 一、問題的提出 1. 計(jì)算圓的面積 正六邊形的面積 正十二邊形的面積 正 形的面積 n23?naaaA ???? ?21即?? ?????? n10 31 0 0 031 0 0310 1a21 aa ?naaa ??? ?21R二、級(jí)數(shù)的概念 1. 級(jí)數(shù)的定義 : ?? ?????????nnn uuuuu 3211一般項(xiàng) (常數(shù)項(xiàng) )無窮級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)的部分和 ???????niinn uuuus121 ?部分和數(shù)列 ,11 us ? ,212 uus ?? ,3213 ?uuus ????? ,21 nn uuus ????2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 : 當(dāng) n 無限增大時(shí) , 如果級(jí)數(shù) ??? 1nnu 的部分和數(shù)列ns 有極限 s , 即 ssnn???l i m 則稱無窮級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂 , 這時(shí)極限 s 叫做級(jí)數(shù) ??? 1nnu 的和 . 并寫成 ?? ????? 321 uuus 如果 ns 沒有極限 , 則稱無窮級(jí)數(shù) ??? 1nnu 發(fā)散 . 即 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 ( 發(fā)散 ) ? nns??lim 存在 ( 不存
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