【正文】 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識(shí)客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶，而其中的 極限理論則被說成是人類理性思維的典范 。利用極限概念，我們逐步獲得了導(dǎo)數(shù)，定積分等概念；利用定積分、極限概念又獲得了廣義積分的概念。后來又有偏導(dǎo)數(shù)和二重積分等概念。 下面看看 無(wú)窮級(jí)數(shù)理論 是怎樣產(chǎn)生的。 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 2)1(321 nnn ?????? ?結(jié)果如何？?? ????? n321?2 1212 1211 132 結(jié)果如何?? ?????? ?n)211(2211211212121211 132 nnn ?????????? ??返回 上頁(yè) 下頁(yè) 第一節(jié) 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一 .無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念 定義 1 由無(wú)窮多項(xiàng)構(gòu)成的一個(gè)連加式 稱為一個(gè) 無(wú)窮級(jí)數(shù) , 簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù) .記為 即 其中 un稱為 級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng) . 若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng) un都為常數(shù) ,則稱該級(jí)數(shù)為 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (或 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ), 若級(jí)數(shù)的項(xiàng) un=un(x),則稱 為 函數(shù)項(xiàng) 級(jí)數(shù) . ?? ????? nuuuu 321???1nnu?? ?????? nuuuu 321???1nnu返回 上頁(yè) 下頁(yè) ?? ??????＋ｎ２＋３１ｎ如ｎ＝１)1(?? ???????ｎ－１３２ｎ＝１ｎ－１ ２１＋２１＋２１２１１２１)2(?? ????????? nnn1312111)3(1?? ??????? ????? 13211 1)4( nnn xxxxx.都是無(wú)窮級(jí)數(shù)稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)式（（（ )3),2),1.)4( 式稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)返回 上頁(yè) 下頁(yè) ?? ????????nnn uuuu 211對(duì)于無(wú)窮級(jí)數(shù)，ｕ記Ｓ １１ ?，ｕｕＳ ２１２ ??為級(jí)數(shù)的部分和，稱 ｎS?? ,21 nuuu ????ｎＳ.　為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列稱?。?ｎ{ } 考察下列級(jí)數(shù)的部分和： ?? ????? n321?? ?????? ? 132 2 12121211 n，?返回 上頁(yè) 下頁(yè) )211(221121121212112 nnnnS ?????????2lim ??? nn S.22 1212 1211 132 無(wú)限接近于所以 ?? ?????? ?n2)1(21,1nnnSnnn??????????由于對(duì)于??nSlim .321 無(wú)限增大所以 ????對(duì)于?? ?????? ? 132 2 12121211 n由于 收斂，２ １稱ｎ＝１ｎ－１??.發(fā)散ｎ稱ｎ＝１??返回 上頁(yè) 下頁(yè) 定義 2 若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列 {sn}的極限存在 ,且等于 s,即 則稱 級(jí)數(shù) 收斂 ,s稱為 級(jí)數(shù)的和 .并記為 ,這時(shí)也稱該級(jí)數(shù)收斂于 ,就稱 級(jí)數(shù) 發(fā)散 ． ss nn ???lim???1nnu ????1nnus???1nnu，如 22 121211 12 ?????? ? ?? n .321 發(fā)散?? ????? n.21稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)的差與部分和當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其和 ????? ?? nnnn uuSSSS返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 1 判定級(jí)數(shù) 的斂散性 . ????1132nn?? ?????? ????? 1211 323232232nnn12 3232322?????? nnS ?解 )311(3311])31(1[2nn?????,3)311(3l i ml i m ??????? nnnnS因?yàn)樗? 收斂 . ????1132nn????1132nn即 =3 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 2 考察級(jí)數(shù) 的斂散性 . ????????????11111)1(1nn?? ????????? ????? )1()1(1)1(1111)1( nnn不存在，nn S??l i m解 因?yàn)? 同理可知 )1(1)1(???? ? nn當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， =1, nS{ }： 1, 0， 1, 0， nS?nS 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí) =0. 發(fā)散 . )1(1)1(???? ? nn所以 發(fā)散 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 3 求 的和 . ??? ??1 )2)(1(1n nn)2)(1(1431321???????? nnS n ?2111)2)(1(1?????? nnnn因?yàn)榻? )2111()4131()3121( ????????? nnS n ?所以 2121 ??? n,21lim ??? nn S .21)2)(1( 11??????n nn所以返回 上頁(yè) 下頁(yè) )1211(21 )121121(21)5131(21)311(21 )12()12(1531311????????????????????nnnnnsn??.,)12()12(1531311并求其和收斂證明級(jí)數(shù) ?? ???????? nn）由于 12 112 1(21)12()12( 1 ???????? nnnnu n.21,21lim它的和為所以該級(jí)數(shù)收斂從而 ???nns例 4 解 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 討論幾何級(jí)數(shù) (等比級(jí)數(shù) ) ?? ?????????nnn aqaqaqaaq 20 qaqqaqaqaaqaqasqnnnn???????????? ?111 1 1?，則若例 5 解 0?a時(shí)當(dāng) 31,2 ?? qa?? ??????110 32nnnnaq的斂散性 (其中 為常數(shù) q為公比 )． 例 1 返回 上頁(yè) 下頁(yè) .,lim,lim,1||這時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散從而由于時(shí)當(dāng) ????????? nnnnsqqqaqqas nn ???? 11,1,0lim,1|| qaqq nn ?????其和為因此級(jí)數(shù)收斂由于當(dāng).),(1, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散這時(shí)若 ?????? nnasq n??????? aaaaq 這時(shí)級(jí)數(shù)成為若 ,1此級(jí)數(shù)發(fā)散。 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 綜上所述 ,幾何級(jí)數(shù) 當(dāng) |q|1時(shí)級(jí)數(shù)收斂 ,且收斂于 ，當(dāng) |q|≥1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 . qa?1?? ?????????nnn aqaqaqaaq 20返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 6 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散． ?? ????????? nnn13121111]1,[,ln)( ??? nnxxxf理?xiàng)l件，上滿足拉格朗日中值定在 ]1,[)( ?nnxf證 引入輔助函數(shù) nnn11ln)1l n( ?????即nS n1312111 ????? ?)ln)1( l n ()3ln4( l n)2ln3( l n)1ln2( l n nn ?????????? ?)1ln ( ?? n ????????? nnn Sn l i m,)1l n(l i m 所以因?yàn)?1,(],)1)[(()()1( ???????? nnnnfnfnf ??因此有調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 性質(zhì) 1 在級(jí)數(shù)的前面增加或去掉 有限項(xiàng) 其 斂散性 不變 ,但一般會(huì)改變收斂級(jí)數(shù)的和． 二、 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) .)31()31(:01收斂收斂，所以因?yàn)槿?nnnn?? ????.111001發(fā)散發(fā)散，所以因?yàn)??????? nn nn返回 上頁(yè) 下頁(yè) 性質(zhì) 2 級(jí)數(shù) 與 有相同的斂散性 , 且 收斂時(shí)有 1???nnu 1???nnCu. 11?? ?????nnnn uCCu.)31(2)31(:11收斂收斂，所以因?yàn)槿?nnnn?? ????.100111發(fā)散發(fā)散，所以因?yàn)??????? nn nnnn)21(10100100???收斂 nnnn)31(2)31(211?? ?????有?? ??????113232nnnn但 ?)54321(2108642 ?? ??????????? ?返回 上頁(yè) 下頁(yè) 性質(zhì) 3 若級(jí)數(shù) 與 都收斂 , 則 也收斂 , 且 1???nnu 1???nnv )( 1????nnn vu )(111????????????nnnnnnn vuvu)3121(1nnn ???? )3121(1nnn ????例 收斂）與（ ?????? 11 2131nnnn收斂， 收斂 思考： 1???nnu 1???nnv至少一個(gè)發(fā)散呢？ 若 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 性質(zhì) 4 收斂 級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂 , 且其和不變 . 收斂，因?yàn)槿??? ????? n2 12 1211: 2.)2121()211( 32 收斂所以 ?????返回 上頁(yè) 下頁(yè) 1???nnu .0lim ??? nn u若級(jí)數(shù) 收斂 , 則 性質(zhì) 5 ( 級(jí)數(shù)收斂的必要條件 ) 注意 .,0l i m)2(1未必收斂則若 ??????nnnn uu,01lim ??? nn如1??? nnn ssu，?????11)1(nn如 ,0)1(li m 1 ?? ??? nn因 所以此級(jí)數(shù)發(fā)散 .11發(fā)散但 ???n n 1???nnu發(fā)散 . 則 ,0lim ??? nn u(1) 若 返回 上頁(yè) 下頁(yè) .1ln32ln221ln1ln1發(fā)散證明級(jí)數(shù) ?? ?????????? nnnnnnn.,0lim 所以該級(jí)數(shù)發(fā)散??? nn u例 1 證明 1lnlimlim ?? ???? nnnunnn 1)11(1lnlim ?????? nnn???12nn ,012lim ????nn .21發(fā)散所以 ???nn練習(xí) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) ??? 1