本科畢業(yè)論文-正定矩陣的性質(zhì)及推廣(參考版)
2024-09-06 17:14本頁面
【正文】 positive diagonal matrix。提供完整版的畢業(yè)設(shè)計 LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2020 屆 本科畢業(yè)論文 正定矩陣的性質(zhì)及推廣 院 （ 系 ） 名 稱 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 名 稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名 學(xué)號 080414076 指導(dǎo)教師 完 成 時 間 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 1 正定矩陣的性質(zhì)及推廣 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)號： 080414076 指導(dǎo)教師： 摘要： 正定矩陣是一類比較重要且應(yīng)用廣泛的矩陣，作為一種特殊的矩陣，當(dāng)然有許多與其它矩陣不同的性質(zhì)，本文 首先給出了正定矩陣的若干性質(zhì) . 其次 ，給出了正定矩陣在證明不等式、求函數(shù)的極值、多項式因式分解等方面的具體應(yīng)用 . 最后對正定矩陣作了進(jìn)一步的推廣，得到了廣義正定矩陣的一些性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的證明 . 關(guān)鍵詞： 正定矩陣；廣義正定矩陣；正對角矩陣；實對稱矩陣 1 關(guān)于正定矩陣的定義 本科階段學(xué)習(xí)的正定矩陣局限于實對稱矩陣，它的常規(guī)定義為 定義 ??1 n 階實對稱矩陣 A 稱為正定的，如果對 ? 0??X ? ?1 2 n, , ... , Tx x x ? n1R? ,都有 0TX AX? .這種正定矩陣的全體記作 SP . 1970年， JohnsonRC .. 首先提出了較廣義的正定矩陣的定義，即 定義 ??22 設(shè) A ? nnR? ，如果對 ? 0??X ? ?1 2 n, , ... , Tx x x ? n1R? ，都有 0TX AX? ,則稱 A 為正定矩陣 ,這種正定矩陣的全體記作 lP . 1984年，佟文廷把這種矩陣推廣為 定義 ??3 設(shè) A ? nnR? ，如果對 ? 0??X ? ?1 2 n, , ... , Tx x x ? n1R? ,都有正對角矩陣 D = XD ，使得 0T XX D AX ? ，則稱 A 為廣義的正定矩陣，記為 A ?XDP，若 XD 與 X 無關(guān)，則記為 A ? DP . 1988年，夏長富對這 種正定矩陣作進(jìn)一步推廣如下 定義 ??44 設(shè) A ? nnR? ，如果對 ? 0??X ? ?1 2 n, , ... , Tx x x ? n1R? ,都存在 S? XS ? SP ,使得 TX AXSX 0? ,稱 A 為廣義正定矩陣，這種廣義正定矩陣的集合記為xSP?，若 XS 與 X洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 2 無關(guān)，則把這樣的廣義正定矩陣的集合記作?SP. 2 正定矩陣的判定定理 定理 ? ?1,5, 設(shè) A 是 n 階實對稱矩陣，則下列命題等價 ?1 A ? SP ； ?? 對 ? 0??X ? ?1 2 n, , ... ,x Txx ? n1R? ， 都有 0TX AX? ； 3? A 的正慣性指數(shù)為 n ，負(fù)慣性指數(shù)為 0； ?? A 的各階順序主子式都大于 0； ?? 存在 n 階可逆矩陣 P ， 使 TP AP E? ? ?nE為 階 單 位 陣； ?? 存在 n 階可逆矩陣 Q ， 使 A = T ； ?? A 的各階主子式都大于 0； ?8 存在正定矩陣 Q ，使 2AQ? ； 9? 所有與 A 合同的矩陣是正定矩陣； ??? A 的特征值都大于 0； ??? A 半正定且 0A? ； ??? 設(shè) 1223TAAA AA???????，則 1A 和 13 2 1 2TA A A A?? 是正定矩陣 . 13? 存在對角元素全大于零的 上 ? ?下 三角矩陣 T ，使 TA TT? . 證明 ?1 等價于 ?? 因為 A 是實對稱矩陣，所以 A 可對角化，即存在正交矩陣 P ，使 ? ?1 12, , , nP A P diag ? ? ?? ? ， 其中 ? ?1, 2, ,i in? ? 是 A 的特征值， i? ? 0 ，所以 ? ?? ? ? ?2 112111 2 1 2, , , ,nnnA P d ia g PP d ia g P P d ia g P? ? ?? ? ? ? ? ?????????? 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 3 令 Q =P ? ?12, ndia g ? ? ?1P? ,則 Q 是正定矩陣且 A = 2Q . 反之，因為 Q 是正定矩陣，所以 2Q 是正定矩陣，即 A 是正定矩陣 . ?1等價于 9? 設(shè) TBAB 是與 A 合同的矩陣， A 正定，下證 TBAB 正定，對 ? 0??X ? ?1 2 n, , ... , Tx x x ? n1R? ， 作非退化線性替換 Y BX? ，則 ? ?TTX B AB X TY AY? ， 因為 A 是正定矩陣，所以 0TY AY? ， 即 ? ?TTX B AB X 0? ， 所以 TBAB 是正定矩陣 . 反之，令 TC B AB? 是正定矩陣，則 ? ? ? ?1 1 1 1TTA B CB B CB? ? ? ???， 因為 C 是正定矩陣， A 與 C 合同，由上面的證明可知， A 是正定矩陣 . ?1等價于 ??? 1223TAAA AA???????是正定矩陣等價于 TPAP 是正定矩陣， 1120E A AP E????? ????, 113 2 1 200TTAP A P A A A A???? ?????， 等價于 1A 和 13 2 1 2TA A A A?? 是正定矩陣 . 要證 ?1 等價于 13? ，需先證明一個引理 . 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 4 引理 設(shè) A 為一個 n 級實矩陣，且 0A? ，則 A 可 以分解成 A QT? ，其中 Q 是正交矩陣， T 是一上三角矩陣 . 證明 設(shè) ? ?12, , , nA ? ? ?? ，其中 ? ?1, 2, ,i in? ? 是 A 的列向量，因為 0A? ，所以 12, , , n? ? ? 線性無關(guān)，可作為 n 維線性空間的一組基，將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交基，令 11??? ， ? ?? ?212 2 111,??? ? ???? ? ?， ? ?? ? ? ?? ?3 2 3 13 3 2 12 2 1 1,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?， 則 ? ?12, , , n? ? ? =? ?12, , , n? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?2 1 11 1 1 12221,01,0 0 0 1nn? ? ? ?? ? ? ???????????????， 將 1? ， 2? ， , n? 標(biāo)準(zhǔn)化，令 ? ?11 11,?? ??? ， ? ?22 22,?
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