【導(dǎo)讀】導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致。含我為獲得及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過(guò)的材料。明并表示了謝意。以贏利為目的前提下，學(xué)?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉?jī)?nèi)容。其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果作品。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)。的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法。律后果由本人承擔(dān)。我承諾在畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定,恪守學(xué)術(shù)規(guī)范,擔(dān)一切責(zé)任,接受學(xué)校的處理.術(shù)規(guī)范,經(jīng)過(guò)本人核查,該生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引用外,窮小量積與商;兩個(gè)以及有限個(gè)無(wú)窮小量之和與差;形如000,1,??用范圍,使得應(yīng)用更加靈活方便.

　　

【正文】 2 s in 9s in 1 029109 12l iml imxxx x xxx x xx????? ? ?? ? ??? ? ? s i n s i n 2 s i n 9 s i n 1 0 ~ 2 1 0 ( 0 )x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 由定理 3 的推論 2 可知 : 原式0 102 1 0limx xxx x x?? ?? ? ? ?15?. 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 17 例 5 求0 2t a n s i nl i m(1 ) ( a r c s i n a r c t a n )x xxxx?? ??。 0t a n( 2) 11l im ()a r c ta nxxex?? ?。 03( 3 ) 1 11li m (1 a r c s i n )x xx? ??? 。 解 (1) 這是個(gè) 0 型不定式極限 , 當(dāng) 0x ?? 時(shí) , a r c s i n ~ a r c t a n ~ t a n ~ s i n ~x x x x x 而00a r c s i n 11a r c t a nl i m l i mxxxx????? ? ? ? 00t a n 1 12 s i n 2 2l i m l i mxxxx????? ? ? ? 0 1lim xx x?? ?（ 由定理 1 的注 ） ?由定理 3 和定理 4 的命題 ()i 可知 原式 20 ()lim xxx xx ????? 333330000( 2 )( 2 ) ( )( 2 ) ( )1limlimlim limxxxxxxxxxxxx??????????????? (2) 它是 0? 型不定式極限 ,由定理 4 的命題 )(ii 可知 原式01()lim xx x??? 01()limt tt???（令 tx? ） 01()1lim tt t?? ???? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 18 (3) 它是 1? 型不定式極限 ,由定理 4 的命題 ()iii 可知 原式 310(1 )limxx x??? 03(1 )lim xx x??? 3013[(1 ) ]lim xx xe????? 例 6 求 301a rc sin1 ta n()1 sinlimx xxx? ? ?? 解 原式 301a r c s in1 sin ta n sin()1 sinl imx xx x xx? ? ? ?? ? 30 1a r c s in1 sin ta n sin()1 sinl imx xx x xx? ? ? ?? ? 30 1a r c s inta n sin(1 )1 sinl imx xxxx? ??? ? 301a r c sinsi n (1 c os )(1 )(1 si n ) c osl i mx xxxxx? ??? ? 3 30112(1 )(1 s i n ) c o sli mx xxxx??? ? （由定理 4 的命題 ()iii ） 1 3230lim (1 s in ) c o sx xx x xe ? ?? （ 由 性質(zhì) 2） e?? 注 在求解 1? 型不定式極限時(shí) ,運(yùn)用定理 4的命 題 ()iii 并且結(jié)合性 質(zhì) 2可減少計(jì)算量起到簡(jiǎn)化的作用 .但并不是所有的 1? 型不定式極 限都要化為 (1 0)?? 的形式 ,在使用中要綜合分析 ,選擇適當(dāng)而簡(jiǎn)單的方法 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 19 例 7 求 2000( a r c ta n )a r c s in l n (1 )l imxxxoxt d tt d t t d t? ?????? 解 由定理 5 可知 當(dāng) 0x? 時(shí) ,有 0 arctan ~x tdt? 0 arcsin ~x tdt? 200ln (1 ) ~ 2xx xt d t td t???? ?原式 22220 222()lim xxxx?? ? 1?? 例 8 求22l n ( 1 )20 06sin0( 1 ) ( s e c 1 )a r c s in ( 2 1 )l imxxtx te t d tx d t? ???? ????? 解 當(dāng) 0x? 時(shí) , 2 22 2~1x xe? ?? 。 2sec 1 ~ xx ? 。 66arcsin ~x x。 2 1 ~ ln 2x x? 。 2ln(1 ) 0x??。 sin 0x? . ?滿足定理 6 的條件 ,從而由定理 6 可得 原式2 26ln( 1 )0s in0022ln 2li mxxxtt dtx t d t????? ??? ? 24620114412 [ ln (1 ) ]( ln 2 ) sinlimx xxx???? ??8810 2116(ln 2)limxxx?? 18ln2?? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 20 注 上面的 8 個(gè)例題若改用洛必達(dá)法則來(lái)求解 ,因需多次求導(dǎo) ,并且 求導(dǎo)的過(guò)程十分繁瑣 ,很難求出結(jié)果 .再一次說(shuō)明了洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的 ,也不一定是最佳的方法 .使用本文中推廣后的等價(jià)無(wú)窮小量替換定理則只需幾步即可求出結(jié)果 ,且不易出錯(cuò) .只要充分的掌握好洛必達(dá)法則和等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì) ,再把本文中的這些定理結(jié)合起來(lái) ,會(huì)使這些原來(lái)十分復(fù)雜的求極限問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單 . 6． 結(jié)束語(yǔ) 本文把 文獻(xiàn) [2]中 只適用于求兩個(gè)無(wú)窮小量積或商極限形式的等價(jià)無(wú)窮小量替換定理推廣到 :有限個(gè)無(wú)窮小量積與商 。兩個(gè)以及有限個(gè)無(wú)窮小量之和與差 。形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù) 以及被積函數(shù)是無(wú)窮小量的變限積分的極限形式中 .不僅擴(kuò)大了 該 定理的適用范圍 ，而且把該定理進(jìn)行了豐富與完善，使得在應(yīng)用上更加靈活方便 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 21 7． 參考文獻(xiàn) [1]魏曉娜 ,李曼生 .等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用研究 [J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究 ,20xx,29(10):59～ 61. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 (上冊(cè) )[M].第三版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:56～ 57,59,61～ 62. [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué) (上冊(cè) )[M].第六版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:60. [4]錢(qián)吉林等 .數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M].第二 版 .武漢 :崇文書(shū)局 ,20xx:85. [5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué) (上冊(cè) )[M].第四版 .北京 :高等教育出版社 ,1996:56. [6] 儲(chǔ)亞偉 , 劉敏 . 等價(jià)無(wú)窮小在極限運(yùn)算中的應(yīng)用 [J]. 阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào) ,20xx,22(3):71～ 72. [7]任全紅 .等價(jià)無(wú)窮小量代換求函數(shù)極限的應(yīng)用 [J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究 ,20xx,上卷(40):81. [8]裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法 [M].第二版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:36. [9]屈紅萍 .等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的方法推廣 [J].保山學(xué)院學(xué)報(bào) ,20xx,(2):56～ 57. 8． 致謝 光陰似箭 ,日月如梭 ,在畢業(yè)論文定稿之際 ,我的大學(xué)四年本科生活也即將畫(huà)上了句號(hào) .遙想初入湖北師范學(xué)院文理學(xué)院之時(shí) ,還歷歷在目 ,恍如隔日 ,不免感嘆時(shí)光易逝 ,韶華難追 .然而 ,艱辛而快樂(lè)的求學(xué)之路 ,也給我留下了很多難以忘懷的欣慰和幸福 .在此 ,向四年來(lái)陪伴我一起走過(guò) ,給予我無(wú)私幫助和關(guān)心的老師、朋友以及親人們致以最為誠(chéng)摯的感謝！ 首先 ,我要衷心的感謝我的指導(dǎo)老師張金娥 ,她在我畢業(yè)論文設(shè)計(jì)的題目選擇上給予了非常大的幫助 ,并且在整個(gè)論文設(shè)計(jì)的過(guò)程中一直指導(dǎo)、鼓勵(lì)著我 ,使我能夠順利地完成畢業(yè)論文的設(shè)計(jì)工作 .也要感謝吳愛(ài)龍老師 ,他在我的論文設(shè)計(jì)中 ,提出了許多中肯而寶貴的意見(jiàn) ,他不憚其煩 ,為我復(fù)審修改了全部稿件 ,使稿件得到了很大的改進(jìn) ,我對(duì)他的這種負(fù)責(zé)精神表示敬佩和學(xué)習(xí) .同時(shí)也要感謝我前文 所 引用或 參考的文獻(xiàn)作者們 ,沒(méi)有他們的前期工作 ,也就沒(méi)有我現(xiàn)在的論文設(shè)計(jì) . 其次 ,感謝 0901 班 ,感謝數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ,感謝湖北師范學(xué)院 ,能夠在這樣的集體和環(huán)境中度過(guò)我的本科學(xué)習(xí)生涯 ,是我一生中最寶貴的財(cái)富 .同時(shí) ,也要感謝我的班主任黃華平老師 ,感謝他這四年來(lái)在生活和學(xué)習(xí)上對(duì)我無(wú)微不至的關(guān)懷與幫 助 . 最后我要感謝的是我最親愛(ài)的父母和其他家人 .在我二十多年的成長(zhǎng)過(guò)程中 ,你們無(wú)時(shí)不刻無(wú)私的關(guān)懷和奉獻(xiàn) ,是我獨(dú)在他鄉(xiāng)求學(xué)的最大精神支柱 ,也是我可以依偎的最溫馨的港灣 ,你們是我永遠(yuǎn)的牽掛和眷念！ 在此 ,也向尊敬的答辯委員會(huì)的各位老師致以我誠(chéng)摯的感謝 ,你們辛苦了 ,感謝各位評(píng)委耐心地審閱我的論文 ,感謝各位評(píng)委老師給予我的指導(dǎo)和幫助 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)）評(píng)審表 所在院系 文理學(xué)院 學(xué)生姓名 朱澤飛 導(dǎo)師姓名 張金娥 所學(xué)專(zhuān)業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生學(xué)號(hào) 20xx311010107 導(dǎo)師職稱(chēng) 助教 論文題目 等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣 論文主要內(nèi)容簡(jiǎn)介 等價(jià)無(wú)窮小量替換是計(jì)算極限的一種重要方法 .在目前流行使用的許多版本的數(shù)學(xué)分析教材中 ,只給出了兩個(gè)無(wú)窮小量積與商的形式等價(jià)無(wú)窮小量替換定理 .然而該定理只適用于兩個(gè)無(wú)窮小量積與商的形式 ,這對(duì)于其它形式例如 :有限個(gè)無(wú)窮小量積與商 。兩個(gè)以及有限個(gè)無(wú)窮小量之和與差 。形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無(wú)窮小量的變限積分 ,該定理就不適用了 .這樣該定理的適用范圍就有局限性了 .本文把用等價(jià)無(wú)窮小 量替換定理求兩個(gè)無(wú)窮小量 積與商的 極限 形式 進(jìn)行了推廣 ,從而擴(kuò)大了該定理的使用范圍 ,使得應(yīng)用更加靈活方便 . 論文評(píng)語(yǔ) （對(duì)論文撰寫(xiě)的整體評(píng)價(jià) ,并建議評(píng)定成績(jī)） 論文總評(píng)成績(jī) 院系學(xué)術(shù)委員會(huì) 主席 (簽名 或蓋章 ):_____________ 院系蓋章 : 注 :本表將裝訂在論文正文后面 ,務(wù)必認(rèn)真填寫(xiě) .