【導讀】導下進行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標注和致。含我為獲得及其它教育機構的學位或學歷而使用過的材料。明并表示了謝意。以贏利為目的前提下，學校可以公布論文的部分或全部內容。其他個人或集體已經發(fā)表或撰寫的成果作品。對本文的研究做出重要貢獻。的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法。律后果由本人承擔。我承諾在畢業(yè)論文（設計）活動中遵守學校有關規(guī)定,恪守學術規(guī)范,擔一切責任,接受學校的處理.術規(guī)范,經過本人核查,該生畢業(yè)論文（設計）內容除特別注明和引用外,窮小量積與商;兩個以及有限個無窮小量之和與差;形如000,1,??用范圍,使得應用更加靈活方便.

　　

【正文】 2 s in 9s in 1 029109 12l iml imxxx x xxx x xx????? ? ?? ? ??? ? ? s i n s i n 2 s i n 9 s i n 1 0 ~ 2 1 0 ( 0 )x x x x x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 由定理 3 的推論 2 可知 : 原式0 102 1 0limx xxx x x?? ?? ? ? ?15?. 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 17 例 5 求0 2t a n s i nl i m(1 ) ( a r c s i n a r c t a n )x xxxx?? ??。 0t a n( 2) 11l im ()a r c ta nxxex?? ?。 03( 3 ) 1 11li m (1 a r c s i n )x xx? ??? 。 解 (1) 這是個 0 型不定式極限 , 當 0x ?? 時 , a r c s i n ~ a r c t a n ~ t a n ~ s i n ~x x x x x 而00a r c s i n 11a r c t a nl i m l i mxxxx????? ? ? ? 00t a n 1 12 s i n 2 2l i m l i mxxxx????? ? ? ? 0 1lim xx x?? ?（ 由定理 1 的注 ） ?由定理 3 和定理 4 的命題 ()i 可知 原式 20 ()lim xxx xx ????? 333330000( 2 )( 2 ) ( )( 2 ) ( )1limlimlim limxxxxxxxxxxxx??????????????? (2) 它是 0? 型不定式極限 ,由定理 4 的命題 )(ii 可知 原式01()lim xx x??? 01()limt tt???（令 tx? ） 01()1lim tt t?? ???? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 18 (3) 它是 1? 型不定式極限 ,由定理 4 的命題 ()iii 可知 原式 310(1 )limxx x??? 03(1 )lim xx x??? 3013[(1 ) ]lim xx xe????? 例 6 求 301a rc sin1 ta n()1 sinlimx xxx? ? ?? 解 原式 301a r c s in1 sin ta n sin()1 sinl imx xx x xx? ? ? ?? ? 30 1a r c s in1 sin ta n sin()1 sinl imx xx x xx? ? ? ?? ? 30 1a r c s inta n sin(1 )1 sinl imx xxxx? ??? ? 301a r c sinsi n (1 c os )(1 )(1 si n ) c osl i mx xxxxx? ??? ? 3 30112(1 )(1 s i n ) c o sli mx xxxx??? ? （由定理 4 的命題 ()iii ） 1 3230lim (1 s in ) c o sx xx x xe ? ?? （ 由 性質 2） e?? 注 在求解 1? 型不定式極限時 ,運用定理 4的命 題 ()iii 并且結合性 質 2可減少計算量起到簡化的作用 .但并不是所有的 1? 型不定式極 限都要化為 (1 0)?? 的形式 ,在使用中要綜合分析 ,選擇適當而簡單的方法 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 19 例 7 求 2000( a r c ta n )a r c s in l n (1 )l imxxxoxt d tt d t t d t? ?????? 解 由定理 5 可知 當 0x? 時 ,有 0 arctan ~x tdt? 0 arcsin ~x tdt? 200ln (1 ) ~ 2xx xt d t td t???? ?原式 22220 222()lim xxxx?? ? 1?? 例 8 求22l n ( 1 )20 06sin0( 1 ) ( s e c 1 )a r c s in ( 2 1 )l imxxtx te t d tx d t? ???? ????? 解 當 0x? 時 , 2 22 2~1x xe? ?? 。 2sec 1 ~ xx ? 。 66arcsin ~x x。 2 1 ~ ln 2x x? 。 2ln(1 ) 0x??。 sin 0x? . ?滿足定理 6 的條件 ,從而由定理 6 可得 原式2 26ln( 1 )0s in0022ln 2li mxxxtt dtx t d t????? ??? ? 24620114412 [ ln (1 ) ]( ln 2 ) sinlimx xxx???? ??8810 2116(ln 2)limxxx?? 18ln2?? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 20 注 上面的 8 個例題若改用洛必達法則來求解 ,因需多次求導 ,并且 求導的過程十分繁瑣 ,很難求出結果 .再一次說明了洛必達法則并不是萬能的 ,也不一定是最佳的方法 .使用本文中推廣后的等價無窮小量替換定理則只需幾步即可求出結果 ,且不易出錯 .只要充分的掌握好洛必達法則和等價無窮小量的性質 ,再把本文中的這些定理結合起來 ,會使這些原來十分復雜的求極限問題變得非常簡單 . 6． 結束語 本文把 文獻 [2]中 只適用于求兩個無窮小量積或商極限形式的等價無窮小量替換定理推廣到 :有限個無窮小量積與商 。兩個以及有限個無窮小量之和與差 。形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù) 以及被積函數(shù)是無窮小量的變限積分的極限形式中 .不僅擴大了 該 定理的適用范圍 ，而且把該定理進行了豐富與完善，使得在應用上更加靈活方便 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 21 7． 參考文獻 [1]魏曉娜 ,李曼生 .等價無窮小的應用研究 [J].數(shù)學教學研究 ,20xx,29(10):59～ 61. [2]華東師范大學數(shù)學系 .數(shù)學分析 (上冊 )[M].第三版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:56～ 57,59,61～ 62. [3]同濟大學數(shù)學系 .高等數(shù)學 (上冊 )[M].第六版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:60. [4]錢吉林等 .數(shù)學分析題解精粹 [M].第二 版 .武漢 :崇文書局 ,20xx:85. [5]同濟大學數(shù)學系 .高等數(shù)學 (上冊 )[M].第四版 .北京 :高等教育出版社 ,1996:56. [6] 儲亞偉 , 劉敏 . 等價無窮小在極限運算中的應用 [J]. 阜陽師范學院學報 ,20xx,22(3):71～ 72. [7]任全紅 .等價無窮小量代換求函數(shù)極限的應用 [J].數(shù)學教學與研究 ,20xx,上卷(40):81. [8]裴禮文 .數(shù)學分析中的典型問題與方法 [M].第二版 .北京 :高等教育出版社 ,20xx:36. [9]屈紅萍 .等價無窮小代換求極限的方法推廣 [J].保山學院學報 ,20xx,(2):56～ 57. 8． 致謝 光陰似箭 ,日月如梭 ,在畢業(yè)論文定稿之際 ,我的大學四年本科生活也即將畫上了句號 .遙想初入湖北師范學院文理學院之時 ,還歷歷在目 ,恍如隔日 ,不免感嘆時光易逝 ,韶華難追 .然而 ,艱辛而快樂的求學之路 ,也給我留下了很多難以忘懷的欣慰和幸福 .在此 ,向四年來陪伴我一起走過 ,給予我無私幫助和關心的老師、朋友以及親人們致以最為誠摯的感謝！ 首先 ,我要衷心的感謝我的指導老師張金娥 ,她在我畢業(yè)論文設計的題目選擇上給予了非常大的幫助 ,并且在整個論文設計的過程中一直指導、鼓勵著我 ,使我能夠順利地完成畢業(yè)論文的設計工作 .也要感謝吳愛龍老師 ,他在我的論文設計中 ,提出了許多中肯而寶貴的意見 ,他不憚其煩 ,為我復審修改了全部稿件 ,使稿件得到了很大的改進 ,我對他的這種負責精神表示敬佩和學習 .同時也要感謝我前文 所 引用或 參考的文獻作者們 ,沒有他們的前期工作 ,也就沒有我現(xiàn)在的論文設計 . 其次 ,感謝 0901 班 ,感謝數(shù)學與統(tǒng)計學院 ,感謝湖北師范學院 ,能夠在這樣的集體和環(huán)境中度過我的本科學習生涯 ,是我一生中最寶貴的財富 .同時 ,也要感謝我的班主任黃華平老師 ,感謝他這四年來在生活和學習上對我無微不至的關懷與幫 助 . 最后我要感謝的是我最親愛的父母和其他家人 .在我二十多年的成長過程中 ,你們無時不刻無私的關懷和奉獻 ,是我獨在他鄉(xiāng)求學的最大精神支柱 ,也是我可以依偎的最溫馨的港灣 ,你們是我永遠的牽掛和眷念！ 在此 ,也向尊敬的答辯委員會的各位老師致以我誠摯的感謝 ,你們辛苦了 ,感謝各位評委耐心地審閱我的論文 ,感謝各位評委老師給予我的指導和幫助 . 湖北師范學院文理學院學士學位論文（設計）評審表 所在院系 文理學院 學生姓名 朱澤飛 導師姓名 張金娥 所學專業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 學生學號 20xx311010107 導師職稱 助教 論文題目 等價無窮小量替換定理的推廣 論文主要內容簡介 等價無窮小量替換是計算極限的一種重要方法 .在目前流行使用的許多版本的數(shù)學分析教材中 ,只給出了兩個無窮小量積與商的形式等價無窮小量替換定理 .然而該定理只適用于兩個無窮小量積與商的形式 ,這對于其它形式例如 :有限個無窮小量積與商 。兩個以及有限個無窮小量之和與差 。形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無窮小量的變限積分 ,該定理就不適用了 .這樣該定理的適用范圍就有局限性了 .本文把用等價無窮小 量替換定理求兩個無窮小量 積與商的 極限 形式 進行了推廣 ,從而擴大了該定理的使用范圍 ,使得應用更加靈活方便 . 論文評語 （對論文撰寫的整體評價 ,并建議評定成績） 論文總評成績 院系學術委員會 主席 (簽名 或蓋章 ):_____________ 院系蓋章 : 注 :本表將裝訂在論文正文后面 ,務必認真填寫 .