【正文】 ??? 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 12 01()lim (1 ( ) ) uxxxCfx???? 01()li m (1 ( ) ) xxx vg x C?? ? ? 注 定理 4說明了在求冪指函數(shù)不定式 0 00,? 的極限時 ,可以 同時 ． ． 直接 地 對指數(shù) ,底數(shù)中的無窮小量 應用等價無窮小量來替換 . 注 對于求 10(1 0) (1 0)????型不定式極限 ,當?shù)诪?1 ( )gx? ,指數(shù)為 1()vx時 , ()gx和 ()vx可 分別用其等價無窮小量來替換 . 注 ,ABC 均可以為 有限 實數(shù) ,也可以為 ?? 或 ? . 對于定理 4 中的命題 ()iii 為了計算上的方便 ,現(xiàn)證明一個重要的性質 . 性質 2 若0 0( ) 0 , ( )lim limx x x xu x x??? ? ?.則00() ( ) ( )l i m(1 ( ) )l i m xxxx vx u x v xux e ?? ? ?. 證 0 ( ) 0limxxux? ? 0l n( 1 ( ) ) ~ ( ) ( )u x u x x x? ? ? 0 ()(1 ( ))lim vxxx ux??? 0( ) ln (1 ( ))lim v x u xxx e ??? 0 ( ) ln (1 ( ))limxx v x u xe ? ?? 0 ( ) ( )limxx u x v xe ?? 變上限 定積分函數(shù)的等價無窮小量替換 在求解不定式極限時 ,常常會遇到一種含有變限積分函數(shù)的不定式極限 ,通常是 00型或 ?? 型 ,一般地用洛必達法則及變限積分的性質來去掉積分 號 ,但是在用此方法求解比較復雜的函數(shù)時 ,因需多次求導 ,計算繁瑣且易出錯 .事實上 ,對于此類型的求極限問題 ,當滿足一定的條件時 ,可以根據(jù)以下定理來求解 . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 13 定理 5 設 ( ) ~ ( ) ( ),f x g x x a?且 ()fx與 ()gx 在 [, ]ax 上連續(xù) ,則 有 ( ) ~ ( ) ( ) .xxaaf t d t g t d t x a??? 證 由 “微積分學基本定理” 和 “洛必達法則” 可知 ()()limxaxaxaf t dtg t dt??? ( ( ) )( ( ) )()()1limlimxaxaxaxaf t dtg t dtfxgx????????? 從而 ( ) ~ ( ) ( ).xxaaf t d t g t d t x a??? 注 由定理 5 可得常用的變上限定積分的等價無窮小量有 : 當 0x? 時 ,0 0 0 0s i n ~ a r c s i n ~ t a n ~ a r c t a n ~x x x xt d t t d t t d t t d t? ? ? ? 0 ( 1) ~x te dt??200ln (1 ) ~ 2xx xt d t td t????。xa x a a a? ? ?且 ( 4 ) (1 ) 1 ~ ( ) 。 equivalent infinitesimal。兩個以及有限個無窮小量之和與差 。 作者簽名： 日 期： 學位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導師的指導下獨立進行研究所取得的研究成果。 作 者 簽 名： 日 期： 指導教師簽名： 日 期： 使用授權說明 本人完全了解 大學關于收集、保存、使用畢業(yè)設計（論文）的規(guī)定，即：按照學校要求提交畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版 本；學校有權保存畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務；學?？梢圆捎糜坝　⒖s印、數(shù)字化或其它復制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉績?nèi)容。 作者簽名： 日期： 年 月 日 導師簽名： 日期： 年 月 日 湖北師范學院文理學院學士學位論文（設計）誠信承諾書 中文題目 : 等價無窮小量替換定理的推廣 外文題目 :Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution Theorem 學生姓名 學 號 院系專業(yè) 文理學院數(shù)學系 班 級 學 生 承 諾 我承諾在畢業(yè)論文（設計）活動中遵守學校有關規(guī)定 ,恪守學術規(guī)范 ,本人畢業(yè)論文（設計）內(nèi)容除特別注明和引 用外 ,均為本人觀點 ,不存在剽竊、抄襲他人學術成果 ,偽造、篡改實驗數(shù)據(jù)的情況 .如有違規(guī)行為 ,我愿承擔一切責任 ,接受學校的處理 . 學生（簽名） : 年 月 日 指導教師承諾 我承諾在指導學生畢業(yè)論文（設計）活動中遵守學校有關規(guī)定 ,恪守學術規(guī)范 ,經(jīng)過本人核查 ,該生畢業(yè)論文（設計）內(nèi)容除特別注明和引用外 ,均為該生本人觀點 ,不存在剽竊、抄襲他人學術成果 ,偽造、篡改實驗數(shù)據(jù)的現(xiàn)象 . 指導 教師（簽名） : 年 月 日 目錄 1．引言 ................................................................... 1 2．無窮小量以及等價無窮小量 ............................................... 2 3．等價無窮小量替換定理 ................................................... 3 4．等價無窮小量替換定理的推廣 ............................................. 4 有限個函數(shù)積或商運算的等價無窮小量替換 ............................. 4 在極限式中有加或減運算的等價無窮小量替換 ........................... 5 乘方運算下的等價無窮小量替換 ....................................... 8 變上限定積分函數(shù)的等價無窮小量替換 ................................ 12 5．應用舉例 .............................................................. 14 6．結束語 ................................................................ 20 7．參考文獻 .............................................................. 21 等價無窮小量替換定理的推廣 朱澤飛（指導老師 :張金娥） （湖北師范 學院文理學院 中國 黃 石 435002） 摘要 : 等價無窮小量替換是計算極限的一種重要方法 .在目前流行使用的 許多版本的數(shù)學分析教材中 ,只給出了兩個無窮小量積與 商 形式 的 等價無窮小量替換定理 .然而 該定理只適用于 兩個無窮小量積與 商的形式 ,這對于其它形式例如 :有限個無窮小量 積與 商 。 like the exponential function of 000 ,1 ,?? .besides, the integrand is infinitesimal variableranged integral, the theorem is not applicable. In this thesis, by using the equivalent infinitesimal substitution theorem for solving two infinitesimal product and quotients’ limit form of the generalization, it expands the scope of application of the theorem, leading to more flexible and convenient application. Key words: Infinitesimal。n xx n?? ( 3 ) 1 ~ l n ( 0 1 ) 。 )(ii 若0()1lim ( ) ,() xxx u Bfx? ?則0()1lim ( )() xxx v Bgx? ?(它是 0? 型 )。ln( 1 sin ) ~ sin ~ .xxxexxxx x x??? 由定理 2 可得 原式 2122x x xx x x??? ? ? ? 12?? . 湖北師范學院文理學院 20xx 屆學士學位論文（設計） 15 例 2 求40 [ s i n s i n ( s i n ) ] s i nt a nli mx x x xx? ? ? 解 原式40 [ s i n s i n ( s i n ) ] s i ns i nli mx x x xx? ??（ 由定理 1） 30 s in s in (s in )s inlimx xxx? ?? 30 sinlimt ttt? ??（令 sintx? ） 2220121 cos3316limlimtttttt?????? 例 3 求 3220 l n ( 1 a r c s in ) 6 ( 2 c o s 1 ) 。 2sec 1 ~ xx ? 。形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無窮小量的變限積分 ,該定理就不適用了 .這樣該定理的適用范圍就有局限性了 .本文把用等價無窮小 量替換定理求兩個無窮小量 積與商的 極限 形式 進行了推廣 ,從而擴大了該定理的使用范圍 ,使得應用更加靈活方便 . 論文評語 （對論文撰寫的整體評價 ,并建議評定成績） 論文總評成績 院系學術委員會 主席 (簽名 或蓋章 ):_____________ 院系蓋章 : 注 :本表將裝訂在論文正文后面 ,務必認真填寫 .