【正文】 ??? 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 12 01()lim (1 ( ) ) uxxxCfx???? 01()li m (1 ( ) ) xxx vg x C?? ? ? 注 定理 4說(shuō)明了在求冪指函數(shù)不定式 0 00,? 的極限時(shí) ,可以 同時(shí) ． ． 直接 地 對(duì)指數(shù) ,底數(shù)中的無(wú)窮小量 應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換 . 注 對(duì)于求 10(1 0) (1 0)????型不定式極限 ,當(dāng)?shù)诪?1 ( )gx? ,指數(shù)為 1()vx時(shí) , ()gx和 ()vx可 分別用其等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換 . 注 ,ABC 均可以為 有限 實(shí)數(shù) ,也可以為 ?? 或 ? . 對(duì)于定理 4 中的命題 ()iii 為了計(jì)算上的方便 ,現(xiàn)證明一個(gè)重要的性質(zhì) . 性質(zhì) 2 若0 0( ) 0 , ( )lim limx x x xu x x??? ? ?.則00() ( ) ( )l i m(1 ( ) )l i m xxxx vx u x v xux e ?? ? ?. 證 0 ( ) 0limxxux? ? 0l n( 1 ( ) ) ~ ( ) ( )u x u x x x? ? ? 0 ()(1 ( ))lim vxxx ux??? 0( ) ln (1 ( ))lim v x u xxx e ??? 0 ( ) ln (1 ( ))limxx v x u xe ? ?? 0 ( ) ( )limxx u x v xe ?? 變上限 定積分函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小量替換 在求解不定式極限時(shí) ,常常會(huì)遇到一種含有變限積分函數(shù)的不定式極限 ,通常是 00型或 ?? 型 ,一般地用洛必達(dá)法則及變限積分的性質(zhì)來(lái)去掉積分 號(hào) ,但是在用此方法求解比較復(fù)雜的函數(shù)時(shí) ,因需多次求導(dǎo) ,計(jì)算繁瑣且易出錯(cuò) .事實(shí)上 ,對(duì)于此類(lèi)型的求極限問(wèn)題 ,當(dāng)滿(mǎn)足一定的條件時(shí) ,可以根據(jù)以下定理來(lái)求解 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 13 定理 5 設(shè) ( ) ~ ( ) ( ),f x g x x a?且 ()fx與 ()gx 在 [, ]ax 上連續(xù) ,則 有 ( ) ~ ( ) ( ) .xxaaf t d t g t d t x a??? 證 由 “微積分學(xué)基本定理” 和 “洛必達(dá)法則” 可知 ()()limxaxaxaf t dtg t dt??? ( ( ) )( ( ) )()()1limlimxaxaxaxaf t dtg t dtfxgx????????? 從而 ( ) ~ ( ) ( ).xxaaf t d t g t d t x a??? 注 由定理 5 可得常用的變上限定積分的等價(jià)無(wú)窮小量有 : 當(dāng) 0x? 時(shí) ,0 0 0 0s i n ~ a r c s i n ~ t a n ~ a r c t a n ~x x x xt d t t d t t d t t d t? ? ? ? 0 ( 1) ~x te dt??200ln (1 ) ~ 2xx xt d t td t????。xa x a a a? ? ?且 ( 4 ) (1 ) 1 ~ ( ) 。 equivalent infinitesimal。兩個(gè)以及有限個(gè)無(wú)窮小量之和與差 。 作者簽名： 日 期： 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。 作 者 簽 名： 日 期： 指導(dǎo)教師簽名： 日 期： 使用授權(quán)說(shuō)明 本人完全了解 大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版 本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；學(xué)校可以采用影印、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學(xué)校可以公布論文的部分或全部?jī)?nèi)容。 作者簽名： 日期： 年 月 日 導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)）誠(chéng)信承諾書(shū) 中文題目 : 等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣 外文題目 :Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution Theorem 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 院系專(zhuān)業(yè) 文理學(xué)院數(shù)學(xué)系 班 級(jí) 學(xué) 生 承 諾 我承諾在畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定 ,恪守學(xué)術(shù)規(guī)范 ,本人畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引 用外 ,均為本人觀點(diǎn) ,不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果 ,偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況 .如有違規(guī)行為 ,我愿承擔(dān)一切責(zé)任 ,接受學(xué)校的處理 . 學(xué)生（簽名） : 年 月 日 指導(dǎo)教師承諾 我承諾在指導(dǎo)學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定 ,恪守學(xué)術(shù)規(guī)范 ,經(jīng)過(guò)本人核查 ,該生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引用外 ,均為該生本人觀點(diǎn) ,不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果 ,偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象 . 指導(dǎo) 教師（簽名） : 年 月 日 目錄 1．引言 ................................................................... 1 2．無(wú)窮小量以及等價(jià)無(wú)窮小量 ............................................... 2 3．等價(jià)無(wú)窮小量替換定理 ................................................... 3 4．等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣 ............................................. 4 有限個(gè)函數(shù)積或商運(yùn)算的等價(jià)無(wú)窮小量替換 ............................. 4 在極限式中有加或減運(yùn)算的等價(jià)無(wú)窮小量替換 ........................... 5 乘方運(yùn)算下的等價(jià)無(wú)窮小量替換 ....................................... 8 變上限定積分函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小量替換 ................................ 12 5．應(yīng)用舉例 .............................................................. 14 6．結(jié)束語(yǔ) ................................................................ 20 7．參考文獻(xiàn) .............................................................. 21 等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣 朱澤飛（指導(dǎo)老師 :張金娥） （湖北師范 學(xué)院文理學(xué)院 中國(guó) 黃 石 435002） 摘要 : 等價(jià)無(wú)窮小量替換是計(jì)算極限的一種重要方法 .在目前流行使用的 許多版本的數(shù)學(xué)分析教材中 ,只給出了兩個(gè)無(wú)窮小量積與 商 形式 的 等價(jià)無(wú)窮小量替換定理 .然而 該定理只適用于 兩個(gè)無(wú)窮小量積與 商的形式 ,這對(duì)于其它形式例如 :有限個(gè)無(wú)窮小量 積與 商 。 like the exponential function of 000 ,1 ,?? .besides, the integrand is infinitesimal variableranged integral, the theorem is not applicable. In this thesis, by using the equivalent infinitesimal substitution theorem for solving two infinitesimal product and quotients’ limit form of the generalization, it expands the scope of application of the theorem, leading to more flexible and convenient application. Key words: Infinitesimal。n xx n?? ( 3 ) 1 ~ l n ( 0 1 ) 。 )(ii 若0()1lim ( ) ,() xxx u Bfx? ?則0()1lim ( )() xxx v Bgx? ?(它是 0? 型 )。ln( 1 sin ) ~ sin ~ .xxxexxxx x x??? 由定理 2 可得 原式 2122x x xx x x??? ? ? ? 12?? . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 15 例 2 求40 [ s i n s i n ( s i n ) ] s i nt a nli mx x x xx? ? ? 解 原式40 [ s i n s i n ( s i n ) ] s i ns i nli mx x x xx? ??（ 由定理 1） 30 s in s in (s in )s inlimx xxx? ?? 30 sinlimt ttt? ??（令 sintx? ） 2220121 cos3316limlimtttttt?????? 例 3 求 3220 l n ( 1 a r c s in ) 6 ( 2 c o s 1 ) 。 2sec 1 ~ xx ? 。形如 000 ,1 ,?? 的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無(wú)窮小量的變限積分 ,該定理就不適用了 .這樣該定理的適用范圍就有局限性了 .本文把用等價(jià)無(wú)窮小 量替換定理求兩個(gè)無(wú)窮小量 積與商的 極限 形式 進(jìn)行了推廣 ,從而擴(kuò)大了該定理的使用范圍 ,使得應(yīng)用更加靈活方便 . 論文評(píng)語(yǔ) （對(duì)論文撰寫(xiě)的整體評(píng)價(jià) ,并建議評(píng)定成績(jī)） 論文總評(píng)成績(jī) 院系學(xué)術(shù)委員會(huì) 主席 (簽名 或蓋章 ):_____________ 院系蓋章 : 注 :本表將裝訂在論文正文后面 ,務(wù)必認(rèn)真填寫(xiě) .