[理學(xué)]第九章重積分(編輯修改稿)
2025-02-15 08:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 y x d x?? ??16e?x y o yx?3yx?(1,1)1 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6. 設(shè) f (x)在 [0,1]上連續(xù) ,且 10 ( ) ,f x dx A??求 110 ( ) ( ) .xI d x f x f y d y? ??解 : 積分區(qū)域如圖 . 由二重積分的對稱性知道 1( ) ( )Df x f y dxdy??2( ) ( )Df x f y dxdy? ??于是 I?12( ) ( )DDf x f y dxdy???2( ) ( )Df x f y dxdy? ??1100( ) ( )f x d x f y d y? ??1( ) ( )Df x f y dxdy? ??2A? I?所以 2 .2AI ?x y o yx?1 (1,1)1 D1 D2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 f (x)在 [0,a] (a 0)上連續(xù) , 證明 20 0 01( ) ( ) [ ( ) ] .2a x adx f x f y dy f x dx?? ? ?解 : 積分區(qū)域如圖 . 00 ( ) ( )axd x f x f y d y??1( ) ( )Df x f y dxdy? ??換序 0 ( ) ( )aayd y f x f y d x?? 0 ( ) ( )aayf y d y f x d x? ??x 與 y 互換 2( ) ( )Df x f y dxdy? ??1 ( ) ( )2 D f x f y dx dy? ?? 001 ( ) ( )2aaf x dx f y dy? ??201 [ ( ) ]2a f x d x? ?0 ( ) ( )aaxf x d x f y d y??x y o yx?a a D1 D2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三 . 二重積分的應(yīng)用 1. 利用二重積分證明不等式 設(shè) f (x)在 [a ,b] (a 0)上連續(xù) , 且 f (x) 0, 則 21( ) ( ) .()bbaaf x dx dx b afx ????解 : 積分區(qū)域如圖 . 1()()bbaaf x dx dxfx ???()()Dfy dx dyfx??()()Dfx dx dyfy??1 ( ) ( )[]2 ( ) ( )Df y f x dx dyf x f y????221 ( ) ( )2 ( ) ( )Df x f y dx dyf x f y?? ??1 2 ( ) ( )2 ( ) ( )Df x f y dx dyf x f y? ?? 2()ba??x y o b a a b 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 ( ) ( )[]2 ( ) ( )Df y f x dx dyf x f y????221 ( ) ( )2 ( ) ( )Df x f y dx dyf x f y?? ??1 2 ( ) ( )2 ( ) ( )Df x f y dx dyf x f y? ??2()ba?? x y o b a a b 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求拋物面 22z x y??與球面 2 2 2 6x y z? ? ?所圍立體的體積和表面積 . 解 : 積分區(qū)域如圖 . 2 2 2 6x y z? ? ?22z x y?? 22:2xyD x y??222 : z x y? ? ?1 :6z x y? ? ? ?x y o z xyD1?2?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222 1 4 4xyDS x y dxdy? ? ??? 22 200 14d r rdr? ??????1 2266xyDS dx dyxy?????2220066rd rdr? ??????12S S S??49( 4 6 )3???x y o z xyD1?2?V? 12()Dz z dx dy???2 2 2 2[ 6 ( ) ]Dx y x y d x d y? ? ? ? ???22 2200 ( 6 )d r r rd r? ?? ? ??? ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 證明曲面 224z x y? ? ?上任一點處的切平面與曲面 22z x y??所圍立體體積為定值 . 解 : 設(shè)曲面上任一點的坐標(biāo)為 (x0 , y0 , z0) , 則過該點的 切平面方程為 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( ) ( ) 0x x x y y y z z? ? ? ? ? ?即 220 0 0 0 02 2 ( 2 2 ) 0x x y y z x y z? ? ? ? ? ?220 0 04z x y? ? ?又知 切平面方程為 220 0 0 02 2 4 0x x y y z x y? ? ? ? ? ?切平面和曲面
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