數學分析第九章定積分(編輯修改稿)
2025-07-04 19:09 本頁面
【文章內容簡介】 只要 , 就有 . 對 的區(qū)間總長小于 此時有 = = 三． 可積函數類： 1．閉區(qū)間上的連續(xù)函數必可積： Th 5 （ 證 ） 2．閉區(qū)間上有界且僅有有限個間斷點的函數可積 . Th 6 （ 證 ） 推論1 閉區(qū)間上按段連續(xù)函數必可積 . 推論2 設函數 在區(qū)間 上有界且其間斷點僅有有限個聚點, 則函數在區(qū)間 上可積. 例2 判斷題 : 閉區(qū)間上僅有一個間斷點的函數必可積 . ( ) 閉區(qū)間上有無窮多個間斷點的函數必不可積 . ( ) 3. 閉區(qū)間上的單調函數必可積： Th 7 （ 證 ） 例3 證明在上可積. 167。 4 定積分的性質（2學時） 教學要求： 理解并熟練地應用定積分的性質；教學重點：理解并熟練地應用定積分的性質；一.定積分的性質: 1.線性性質: Th 1 — Const , 且 . （ 證 ）Th 2 , , 且 .（ 證 ）綜上 , 定積分是線性運算 . 2. 乘積可積性: Th 3 , . 證 和 有界. 設 , 且可設 .( 否則 或 恒為零 ). 插項估計 , 有 .……但一般 . 3. 關于區(qū)間可加性: Th 4 有界函數 在區(qū)間 和 上可積， ,并有 . ( 證明并解釋幾何意義 )規(guī)定 , .系 設函數 在區(qū)間 上可積 . 則對 , 有 . （ 證 ） 4. 積分關于函數的單調性: Th 5 設函數 , 且 , .（ 證 ）(反之確否?)積分的基本估計: . 其中 和 分別為函數 在區(qū)間 上的下確界與上確界. 5. 絕對可積性: Th 6 設函數,且 (注意 .)證 以 證明 。 以 證明不等式.該定理之逆不真. 以例 做說明. 6. 積分第一中值定理: Th 7 ( 積分第一中值定理 ) , 使 = . （ 證 ）Th 8 ( 推廣的積分第一中值定理 ) 且不變號. 則, 使 = . （ 證 ） .二. 舉例: 例1 設 . 試證明: .其中和是內的任二點, { }, .例2 比較積分 與 的大小.例3 設 但 . 證明 0.例4 證明不等式 .證明分析 所證不等式為 只要證明在 上成立不等式 , 且等號不恒成立, 則由性質4和上例得所證不等式.例5 證明 . 167。5 （續(xù)）（2學時） 教學要求：熟練地掌握換元積分法和分部積分法，并能解決計算問題.教學重點：熟練地掌握換元積分法和分部積分法，并能解決計算問題.一. 變限積分與原函數的存在性 引入：由定積分計算引出 . : 定義上限函數 ，（以及函數 ） 其中函數 . 指出這是一種新的函數, 也叫做面積函數.T
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