數(shù)學分析第九章定積分-資料下載頁
2025-06-07 19:09本頁面
【正文】 有 ,令 , 注意到函數(shù) 、 和 在區(qū)間 上的可積性以及函數(shù) 的連續(xù)性，就有積分不等式 .證法二 （ 用判別式法 ） 對任何實數(shù) ，有 ， , 即 對任何實數(shù) 的二次不等式的解集為全體實數(shù), 于是就有 ,即 . 例4 且 . 證明不等式 .證 取 . 對函數(shù) 和 應用Schwarz 不等式, 即得所證 . 例5 設函數(shù) 在區(qū)間 [ 0 , 1 ]上可積 . 試證明有不等式 .證 先用Jensen不等式法證明不等式 : 對 , 有不等式 . 設 為區(qū)間 的 等分分法. 由上述不等式 , 有 . 令 , 注意到函數(shù) 和 在區(qū)間 [ 0 , 1 ]上的可積性以及函數(shù) 和 的連續(xù)性，就有積分不等式 .仿該例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法證明的某些不等式的積分形式 . 二. 面積函數(shù)的導數(shù) : 例6 求 和 例7 求 和 例8 求 .例9 .( = )例10 設函數(shù) 連續(xù)且 . 求 和 .解 令 . 兩端求導, = . 例11 設 . = .試證明 : = .證 = , = . 例12 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且0. .試證明: 函數(shù) 在區(qū)間 內嚴格遞增.證 = , 而.0 , 在 內 ，又 連續(xù) ， ， 在區(qū)間 內 0 . 因此 在區(qū)間 內嚴格遞增. 三. 含有變限積分的未定型極限: 例13 求極限 . ( 2 ) 四. 定積分的計算 : 例 14 計算積分 . 例15 計算積分 = .解 時, = 。 時, = 。 時, = .因此, 例16 利用積分 的值 , 計算積分 .解 . ,而 , .因此， 例17 , 求 ( 2 ) 例18 設 是區(qū)間 上連續(xù)的偶函數(shù) . 試證明 : 是 上的奇函數(shù) .證法 一 .證法 二 注意到 , 有 = = . 五. 利用定積分求和式極限 : 原理: 用定積分定義，在函數(shù)可積時，能用特殊的分割及介點取法，計算定積分. 例19 求極限 . [3] P163 E13 . 與167。1例2連系.例20 求極限 .解 = = .由函數(shù) 在區(qū)間 [ 0 , 1 ]上可積 , 有= . . 例21 求極限 . 解 = = . , .因此 , . 例22 試證明: 對任何,有不等式 .證 = 是函數(shù) = 在區(qū)間[ 0 , 1 ]上相應于 等分分法 的小和 . 由函數(shù) = 在區(qū)間[ 0 , 1 ]上可積, 有時, ↗ . 又易見 ↗↗. 對任何 , 有 , 即 . 26
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