【正文】 ,0(,1 nx nx 對于任意 ? ???? ,00x ， ox ? ? ?n,0 有 ? ?0xfn =1存在 N 使得 Nx?0 時(shí)，當(dāng) Nn?時(shí) ，即對于任給 ? 0? 有 ? ? 10 ?xfn = ??0 ， ? ? 1lim ??? xfnn ? ?? ? ?? ???? 1xfm n ? ?? ????? ?1xfm n ? ????,nm ?? 這說明它不是依測渡收斂于 1. 說明 幾乎處處收斂 的函數(shù)未必是 依測度收斂 的 . 定理 ),( mFX 為 測度空間， ??? ?xfn 在可測集 ? 上幾乎處處收斂于有限實(shí)函數(shù) ??xh ，則 ? ?xf上可測函數(shù)畢存在 ? ，有???nlim nf??m f， f ??m h. 證明 因?yàn)?? ? ? ? ???? 于..l i m eaxhxfnn，所以 ? 0? ，使得 ? ?0?m =0 ，且? ? ? ?xgxfnn ???lim ）于（ 0.. ???ea ，因?yàn)?? 的可測子集為 0??? ，由可測函數(shù)列的極限定理可知， ??xg 在 0??? 上為可測函數(shù) .今作 ? 上的函數(shù) 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 10 )(xf =??? ?? ????000 ),( xxxg， 由可測函數(shù)的性質(zhì)知 ??xf f 為 ? 上的可測函數(shù) .顯而易見 ? ? ? ?xfxfnn ???lim ? x ? 0??? ， ? ?0?m =0 這就說明了在 ? 上，有 ???nlim nf??m )(xf 由條件知，在 ? 上???nlim nf??m h，則 ? 1? ? F ， ? ?0?m =0. 使得 ???nlim ???xfn ??xh， ? x ? 1??? 因此 ? ? ? ? ? ? 1010 ?????????????? ??hf 從而有 ? ?hf ?? 10 ??? ? 顯而易見 ? ? 000)()(0 1010 ?????????? mmm ? 即 ? ?10 ?? ?m = . 定理 設(shè) ),( mFX 為測度空間， ? X? ， ? ? ????m ， ??? ?xfn 為 ? 上的可測函數(shù)列， ? ? 上的可測函數(shù)為 ?xf ，則 ? ? ? ?xfxfn ? ? ??? ?xfn 的 任一子列 ??knf都可以從其中找到 一個(gè)子列 ? ?? ?xfjkn在 ? 上 ? ?xf幾乎處處收斂于 . 證明 ??? 設(shè)在 E 上 nfm? f，則對于 ??? ?xfn 的任何子列 ??knf顯然也有knf m? f.根據(jù) (F 41,0,1xx ， ??xf22 =?????????????????????.42,41,0。21,0,1xx ， ????xf12 =?????????????????????,1,21,1。 0nj njm x x f x f x ???? ???? ? ? ? ????? 則可得 ? ? ? ?? ?? ?l i m | 。 Almost everywhere。 Uniform。 本 科 生 畢 業(yè) 論 文 函數(shù)列 三種 收斂的關(guān)系探究 學(xué) 號： 2020563018 姓 名： 劉玉良 年 級： 09 級本科二班 系 別： 數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 王國賢 完成日期： 2020 年 4 月 20 日 承 諾 書 我承諾所呈 交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是本人在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作所取得的研究成果 .據(jù)我查證，除了文中特別加以標(biāo)注的地方外，論文中不包含他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 .若本論文（設(shè)計(jì)）及資料與以上承諾內(nèi)容不符，本人愿意承擔(dān)一切責(zé)任 . 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）作者簽名： 日期： 年 月 日黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 目 錄 摘 要 ................................................................................................................................ I Abstract ............................................................................................................................... II 前 言 ............................................................................................................................... 1 第一章 基本概念 ............................................................................................................... 2 一致收斂 的相關(guān)定義 ........................................................................................... 2 依測度收斂的定義 ................................................................................................ 4 幾乎處處收斂的定義 ........................................................................................... 5 第二章 函數(shù)列收斂之間的關(guān)系 ....................................................................................... 6 幾乎處處收斂與一致收斂間的關(guān)系 ................................................................... 6 依測度收斂與幾乎處處收斂之間的關(guān)系 ............................................................ 8 一致收斂與依測度收斂之間的關(guān)系 .................................................................. 12 基本上一致收斂與幾乎 處處收斂之間的關(guān)系 .................................................. 12 基本上一致收斂與依測度 收斂之間的關(guān)系 ..................................................... 13 第三章 利用收斂性的關(guān)系解決問題 ............................................................................. 14 利用一致收斂問題解決幾乎處處收斂問題 ...................................................... 15 利用依測度收斂問題解決幾乎處處收斂問題 ................................................. 16 利用幾乎處處收斂問題解決一致收斂問題 ...................................................... 17 結(jié) 論 ............................................................................................................................. 18 參考文獻(xiàn) ............................................................................................................................. 19 致 謝 ............................................................................................................................. 20 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） I 摘 要 本文討論了實(shí)數(shù)系下函數(shù)列的一致收斂、依測度收斂、幾乎處處收斂、基本上一致收斂的定義及定理，以及四種收斂之間的區(qū)別與聯(lián)系 .在有些條件（一般可測集和有限可測集）改變時(shí)，這幾種收斂性相互之間又沒有必然的聯(lián)系 .給定一個(gè)函數(shù)列，我們在考慮它的收斂性問題時(shí)，應(yīng)該注意各種收斂之間有什么關(guān)系以及在什么意義下收斂 .對于可測函數(shù)列來說，下文所介紹的葉果洛夫定理指出了幾乎處處收斂與一致收斂的某種關(guān)系，黎斯定理指出了依測度收斂和 幾乎處處的某種關(guān)系，由于函數(shù)列一致收斂性有著重要意義，可以預(yù)見這一定理有廣泛的應(yīng)用，此外本文引進(jìn)的依測度收斂的概念是可測函數(shù)列最經(jīng)典的一種收斂，它在概率中有著具體含義 .而 研究清楚了它們之間的關(guān)系，我們可以應(yīng)用相關(guān)定理來解決一些簡單的問題 .進(jìn)而 使我們能夠?qū)τ诶杷苟ɡ?、葉果洛夫定理進(jìn)行簡單的應(yīng)用，同時(shí)使我們對于定理有了更加深刻的理解和認(rèn)識 . 關(guān)鍵字 ：收斂；一致；依測度；幾乎處處；基本上 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） II Abstract This paper discussed the uniform convergence， convergence in measure， almost everywhere convergence， basically uniform convergence39。 definition and theorem in the actual amount， and there is some difference between the four kinds of definitions of convergence. If some conditions (general measurable sets and finite measurable set) are changed， the