【正文】 圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準用徒手畫 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁以上的雙面打印 4）圖表 應(yīng)繪制于無格子的頁面上 5）軟件工程類課題應(yīng)有程序清單，并提供電子文檔 1）設(shè)計（論文） 2）附件：按照任務(wù)書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）次序裝訂 3）其它 。 ：任務(wù)書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。 涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。 作者簽名： 日 期： 黃岡師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文 [第 23 頁 共 22 頁 ] 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨立進行研究所取得的研究成果。對本研究提供過幫助和做出過貢獻的個人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。 反常積分與無窮級數(shù)收斂關(guān)系討論 [第 20 頁 共 22 頁 ] 致謝 這篇論文之所以能夠順利地完成，除了自身的努力之外，還與他人的幫助是分不開的 .因此在這里，我要對所有幫助過我的人表示感謝 . 首先，我第一個要感謝的是我的指導(dǎo)教師 —— 何春玲老師 .正是在他的引導(dǎo)和鼓勵下，我才能完成這篇畢業(yè)論文 .記得剛開始寫論文的時候，我除了大 致有個寫的方向外，并不知道具體該如何動手 .正是舒老師的引導(dǎo)，才讓我明白了自己具體應(yīng)該寫什么，在寫的過程中應(yīng)注意些什么，要側(cè)重寫什么等等的內(nèi)容 .當我在寫論文的過程中碰到了問題時，又是舒老師耐心地引導(dǎo)著我去解決問題 .應(yīng)該說，舒老師對我的細心指導(dǎo)給予了我很大的幫助，使我能夠更好地完成論文 . 接著，我要感謝周圍的一些同學(xué) .當我們平時在寫論文中碰到困難時，大家通常會互相討論，互相交換意見 .這對提高我的論文水平是有一定幫助的 . 最后，我還要感謝參考文獻中的各位作者 .雖然大家素未蒙面，但是我通過閱讀他們的著作，拓寬了自己 的寫作思路 .因而我也要表示感謝 . 黃岡師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文 [第 21 頁 共 22 頁 ] 參考文獻 [1]張千祥 ,無窮級微和無窮積分的關(guān)系探討 [J]：安慶師范學(xué)院 (自然科版本） 2020,5,203211. [2]關(guān)東月 .關(guān)于無窮級數(shù)與無窮積分收斂的必要條件 . [J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報 （教育科學(xué)版） ,2020,5 [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 .[M].北京 :高等教育出版社 ,2020 [4]明清河 .數(shù)學(xué)分析的思想方法 . [M].濟南 :山東大學(xué)出版社 , [5]李經(jīng)文 .數(shù)學(xué)分析縱橫談 . [M].北京 :氣象出版社 , [6]裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中典型問題與方法 . [M].北京 :高等教育出版社 [7]魏正剛 .數(shù)項級數(shù)與無窮限廣義積分 . [J].科技資訊 , [8]徐晶 .一種反常積分與正項級數(shù)收斂的判別法 . [J].高等數(shù)學(xué)研究 ,2020,5 [9]關(guān)東月 .關(guān)于無窮級數(shù)與無窮積分收斂的必要條件 . [J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報 （教育科學(xué)版） ,2020,5 [10]宋忠生 .建立無窮積分與無窮級數(shù)之間的聯(lián)系 . [J].山東建筑工程學(xué)報 ,1996,6 [11]陳妙玲 .函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法 . [J].長春理工大 學(xué)學(xué)報 ,2020,6 [12]劉寧 .談無窮級數(shù)與廣義積分的關(guān)系 . [J].重慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報 ,2020,7 [13]棧吉，數(shù)學(xué)分析是解精粹 (第二版 )[M]湖北：湖北長江集團． 2020 9 [14] RUDIN, W.: “ Principle of Mathematical Analysis,” 3rd ed. McGrawHill Companies, Inc. New York, 1964 反常積分與無窮級數(shù)收斂關(guān)系討論 [第 22 頁 共 22 頁 ] 畢業(yè)設(shè)計（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計（論文），是我個人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的成果。 故最后 為此討論了無窮積分 ???a dxxf )(收斂時一定有 0)(lim ??? xfx的若干充分條件 。 雖然 無窮積分與無窮級數(shù)有這么多相似的地方，它們?nèi)杂胁煌胤健? 再通過對 無窮積分和無窮級數(shù)的 判 別 方法 對比研究發(fā)現(xiàn)： 無窮積分和無窮級數(shù)的斂散性都是由 極限來定義的，只不過無窮積分是函數(shù)的極限，無窮級數(shù)是數(shù)列的極限 ，并且這兩部分 能相互轉(zhuǎn)化，故它們的 大多收斂 問題都可歸化為同一種問題解決。 無窮積分與無窮級數(shù) 的 差異 對于無窮級數(shù) ???1n na收斂的必要條件是 0lim ??? nn a,但對于無窮積分 ???a dxxf )(,卻未必有 0)(lim ??? xfn. 例如， dtttdxx aa ?? ???? ? 2s ins in 2條件收斂 ,而 2sinlim xx ??卻不存在 .究其原因 ,該例子中的 2sinx 是變號的 . 進一步 ,當 ? ????? ,ax , 0)( ?xf ,且 )(xf 連續(xù) ,是否就有 0)(lim ??? xfx呢？回答是否定的 . 例如 無窮積分 ??? ?a xxxdx 26 sin1收斂 . 被積函數(shù) xx xxf26 s in1)( ??.在 0?x 時 , 0)( ?xf 且滿足 ππ kkf ?)( .這表明函數(shù)圖像與第一項限的角平分線 xy? 有無窮多個交點 ,交點的坐標是（ ??kk , ） .但當 ?kx? 時 ,函數(shù)值就急劇下降 ,當 ??x 時函數(shù)圖像已經(jīng)與軸很難區(qū)分開來 .這個例子說明無窮積分 ???a dxxf )(收斂 ,不僅有 0)(lim ??? xfx,而且可以有????? )(lim xfx ,即函數(shù) ）（ xf 是無界的 . 事實上 ,由定理我們可以看出式（ 41）中 ?????11 )(nAAnn dxxf的 ? ?1 )(nnAA dxxf ,相當于無窮級數(shù) ???1n na中的 na ,而不是 )(xf .那么加什么條件才能得到 0)(lim ??? xfx結(jié)果呢？ ???a dxxf )( 收斂時 , 0)(lim ??? xfx 互為 充分條件 定理 ???a dxxf )(收斂 ,且 )(xf 在 ? ???,a 上一致連續(xù) ,則 0)(lim ??? xfx. 黃岡師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文 [第 17 頁 共 22 頁 ] 證明 用反證法 .假設(shè) 0)(lim ??? xfx,即 00??? , Nn?? , nxn?? ,有 0)( ??nxf .已知 )(xf 在 ? ???,a 一致連續(xù) ,即 020 ??? , 0??? , ? ? ???????????? xxaxx :,， ,有2)()( 0????? xfxf . 22)()()()( 00 ??? ?????? onn xfxfxfxf . （ 42） ? ????? nn xxx , , 必同號與 )()( nxfxf .若 異號與 )()( nxfxf ,則有0)()()()( ????? nn xfxfxfxf ,矛盾 . 若 0)( ?nxf ,則 0)( ?xf ,由（ 2）式有 ,2)( 0??xf 從而?? ?? ?? ?? ??? nnnn xxxx dxdxxf 22)( 00. 若 0)( ?nxf ,則 0)( ?xf ,由（ 2 ,2)( 0???xf ）式有 從而 ?? ?? ???? ?? ??? nnnnxxxx dxdxxf 22)( 00, 即 2)( 0??? ?? ?nnxx dxxf. 于是 , 020 ?? ?? , Nn?? , ,nxn?? 有 2)( 0??? ?? ?nnxx dxxf . 根據(jù) Cauchy 收斂準則逆否命題 ,???a dxxf )(發(fā)散 ,已知條件矛盾 .于是 , 0)(lim ??? xfx. 定理 若函數(shù) ? ???,)( axf 在 有連續(xù)導(dǎo)數(shù) ）（ xf? ,且無窮積分 ???a dxxf )(與??? ?a dxxf )( 都收斂 ,則 0)(lim ??? xfx . 證明 已知無窮積分 ??? ?a dxxf )(收斂 ,即 )()(lim)(lim)(lim)( afxfaxtfdttfdxxf xxxaxa ?????? ??????????? ?? 存在 ,也就是極限 )(lim xfx ???存在 .設(shè) ???? )(lim xfx. 反常積分與無窮級數(shù)收斂關(guān)系討論 [第 18 頁 共 22 頁 ] 下面證明 0?? .用反證法 .假設(shè) 0?? ,不妨設(shè) 0?? ,即 0)(lim ???? ?xfx.由連續(xù)函數(shù)的保號性 ,于是 , ,0 AxA ???? 有 2)( ??xf . 從而 , AP?? ,有 ? ? ?1 2)(pa dxxf ?. 根據(jù) Cauchy 收斂準則逆否命題 ,???a dxxf )(發(fā)散 ,已知條件矛盾 .于是 , 0)(lim ??? xfx. 本章小結(jié) 通過對無窮積分與無窮級數(shù)的審斂法的對比研究說明二者判別法上極