【正文】 在未來(lái)的日子里，我會(huì)更加努力的學(xué)習(xí)和工作，不辜負(fù)父母對(duì)我的 殷殷期望！我一定會(huì)好好孝敬和報(bào)答他們！ 。 值得一提的是， 呂 老師宅心仁厚，閑靜少言，不慕榮利，對(duì)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)，在他的身上，我們可以感受到一個(gè)學(xué)者的嚴(yán)謹(jǐn)和務(wù)實(shí)，這些都讓我們獲益菲淺，并且將終生受用無(wú)窮。從課題的選擇到論文的最終完成， 呂 老師始終都給予了細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持，并且在耐心指導(dǎo)論文之余， 呂 老師仍不忘拓展我們的文化視野，讓我們感受到了 數(shù)學(xué) 的美妙與樂(lè)趣。 技術(shù)分析 我們應(yīng)當(dāng)堅(jiān)信，隨著我國(guó)市場(chǎng)化經(jīng)濟(jì)越發(fā)強(qiáng)壯，金融市場(chǎng)自由化指日可待，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理和風(fēng)險(xiǎn)度量的數(shù)學(xué)模型會(huì)越來(lái)越豐富多彩。 而怎樣進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理？風(fēng)險(xiǎn)管理的方法能不能有效快速直接？這一連串的問(wèn)題拷問(wèn) 27 著信息時(shí)代每一位求知者的內(nèi)心。 展望 金融市場(chǎng)瞬息萬(wàn)變，著名的銀行家美聯(lián)儲(chǔ)前主席格林斯潘說(shuō)：銀行業(yè)實(shí)際上就是管理風(fēng)險(xiǎn)的行業(yè)。 本文研究的重點(diǎn)在于：研究風(fēng)險(xiǎn)管理與反常擴(kuò)散模型的關(guān)系，以及 VaR 在風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域的應(yīng)用。在比較了三種方法之后，我別具一格地提出了，在反常情形下，比如金融風(fēng)暴，不可抗力條件影響下的市場(chǎng)環(huán)境，即數(shù)據(jù)非正態(tài)分布環(huán)境下的解決方法：在 VaR 值計(jì)算方法蒙特卡洛模擬法中 引進(jìn)反常擴(kuò)散模型。以往對(duì)于 VaR 的值的測(cè)算分為三種主流的方法，即文中提及的方差 —— 協(xié)方差法，蒙特卡洛模擬法和歷史模擬法。采用實(shí)證和規(guī)范分析相結(jié)合的研究方法，篩選一段時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)，選擇適合中 國(guó)風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境的 VaR 模型，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理運(yùn)用進(jìn)行實(shí)證分析，并提出相關(guān)政策建議。 VaR 作為一種動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)管理方法，應(yīng)用于一些大型金融企業(yè)，對(duì)金融工具市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行測(cè)評(píng)，中國(guó)也應(yīng)用在證券投資和銀行監(jiān)管中，表現(xiàn)出其較準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)性。 26 第 5章 總結(jié)與展望 總結(jié) 隨著 金融市場(chǎng)、金融交易規(guī)模日趨擴(kuò)大，金融資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)隨之變大， 因此 對(duì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的分析研究變得尤其重要。用數(shù)學(xué)表達(dá)即 0( , ) ( , ) ( , )P x t f x g t d? ? ?????? (47) 其中 ),( ?xf 為服從 正態(tài)分布 ),( 2????N 的概率密度函數(shù)。 可以得到 taWRtWV a R ????? ?? 0*0 )( (45) 24 反常擴(kuò)散在非正態(tài)下引入 VaR 的計(jì)算 在收益率不服從正態(tài)分布時(shí)，以往的辦法一般設(shè)定收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，然后利用 ITO 過(guò)程從而推導(dǎo)出 VaR： taWVaR ?? 10 ? (46) 但是在本文中，在非正態(tài)分布條件下引入反常擴(kuò)散模型，用更加簡(jiǎn)單直接高效率的方式破解這一難題。其中 0W 是初期資產(chǎn)價(jià)值， R 是收益率， 0W 在給定的置信度 C 下的最低回報(bào)率為 *R ，則 VaR 值就是 0W 末期 價(jià)值均價(jià)減去末期價(jià)值最低值。 假設(shè) R 服從均值和方差分別為 t?? 和 t?2? 的正態(tài)分布，即 ),(~ 2 ttNR ?? ?? ，則)1,0(~ NttR ???? ? ，其概率密度函數(shù)為： 2221)( xex ?? ?? 。這直接印證了，在反常擴(kuò)散下，經(jīng)典VaR 計(jì)算方法都會(huì)使結(jié)果偏小而喪失準(zhǔn)確性。 圖 22 再利用蒙特卡洛模擬法得到反常擴(kuò)散方程的解的圖像（見(jiàn)圖 ）。in f{)( tUtS ?? ?? ?? (321) 而 )(??U 可 通過(guò)反常模擬得到， 固定 ? ，令 n???? ，則 0)0( ??U ( ( 1 ) ) ( ) iU i U i z????? ? ? ?? ?， (322) 其中 iZ 是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量且滿足 []ikz kE e e ??? ??? ，由 參考文獻(xiàn) [28]可以知道， iZ可由以下方式生成 ?????????????????111])]2(c o s [[)( c o s)]2(s i n [)( wUUUUZ i (323) 其中， U 是 ]2,2[ ??? 上的均勻分布， w 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布。in f{)( tUtS ?? ?? ?? ，通過(guò)蒙特卡洛模擬法即可得到 ),( txP ，而 )(tS? 又是 ? 穩(wěn)定增長(zhǎng) Levy 過(guò)程 )(??U 的首達(dá)式。 21 也就是說(shuō)數(shù)學(xué)期望是可以用算式平均來(lái)逼近的，即蒙特卡洛模擬法。偶然中包含著某種必然。通俗 地說(shuō)，這個(gè)定理就是，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。已知 )(??U 的特征函數(shù)為： ()[]kU kE e e ?? ? ?? ?? (314) 20 上式見(jiàn)于 參考文獻(xiàn) [1]。 )(tS? 為 ? 穩(wěn)定增長(zhǎng) Levy過(guò)程 )(??U 的首達(dá)時(shí)。 )(),(),( ?? (39) 19 對(duì)上式做 Laplace 及 Fourier 變換，可以得出 )()(11)(1),(11)(1)(),(),(^~^^^^^^~~~ukuuukuuuukukp???????????????? (310) 不同的等待時(shí)間和跳躍過(guò)程分布的選取導(dǎo)致不同的微分方程。39。 )(1)( ?? (37) 表示生存函數(shù)，即 粒子在（ 0， t ）之間沒(méi)有發(fā)生跳躍。 )()(),(),(),( txttxxtxdtdxtx ????? (36) 令 ),( txp 表示粒子 t 時(shí)刻位于 x 的概率密度，而 ??? t dttt 0 39。39。39。 設(shè) ),( tx? 表示粒子在 t 時(shí)刻剛好到達(dá) x 的概率密度，由轉(zhuǎn)移 概率公式知 ? ????? ?? ???? 0 39。先前學(xué)界提出的廣義的中心極限定理，證明了存在常 數(shù)tNa，tNb使得tt NNt abS /?收斂。 反常擴(kuò)散模型的提出 考慮一個(gè)隨機(jī)游走過(guò)程，游 走粒子在隨機(jī)時(shí)刻以隨機(jī)步長(zhǎng)跳躍。 在本文中，我們介紹的風(fēng)險(xiǎn)管理方法 VaR 的前提是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)是正常的，但是在某些特殊的情形下面，市場(chǎng)的利率會(huì)發(fā)生一些異常的變化。這樣的經(jīng)典非線性擴(kuò)散方程被應(yīng)用于很多情況：例如氣體通過(guò)多孔介質(zhì)的滲透（當(dāng) 2?? 時(shí)）；液體薄膜在重力作用下擴(kuò)散的過(guò)程（ 4?? ） ；血漿的流動(dòng)（ 1?? ）；當(dāng) 1?? 時(shí)，這個(gè)方程為正常擴(kuò)散，當(dāng) 1?? 時(shí)，方程為反常擴(kuò)散（因?yàn)?2??t ??2x ? ，所以說(shuō)當(dāng) 1?? 時(shí)為超擴(kuò)散，當(dāng) 1?? 的時(shí)候就是次擴(kuò)散 ） 。近些年來(lái)，非線性擴(kuò)散方程，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程以及含非線性項(xiàng)、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散方程被加以廣泛地研究。 17 第 3章 反常擴(kuò)散模型 的模擬 反常擴(kuò)散模型的概念 我們把在分形介質(zhì)之中分子的擴(kuò)散現(xiàn)象卻不能用普通標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)散方程來(lái)加以描述的現(xiàn)象，稱作反常擴(kuò)散。分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù)的 定 義已被很多數(shù)學(xué)家給出，有 RieszFeller 型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， Gr u unwald 型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，RiemannLiouville 型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)， Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)等等，它們都是整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分拓展和推廣到任意階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果 但是 ,從前面的式子中， 我 們可以知道 ( , )pxt 的漸進(jìn)行為 , 有 log ( , ) ~ up x t C?, 其中 2/1xt??? , 1/ (1 / 2)u ??? , 這種形式的解稱為伸長(zhǎng)的 Gaussion 分布 , 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比 , 具有尖峰厚尾性。例如，對(duì)于物質(zhì)的記憶性和遺傳性的描述 ，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)提供了一個(gè)良好的工具。 這里我們有必要介紹一下分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。由于 16 自然界中反常擴(kuò)散現(xiàn)象的廣泛性，近年來(lái)， FokkerPlanck 方程， Langevin 方 程， master方程，非線性擴(kuò)散方程，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和含非線性項(xiàng)、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散方程常常被引入用以描述這種現(xiàn)象 [16]。 Mandelbrot(1963)， Fame(1965)等人發(fā)現(xiàn)資產(chǎn)收益具有高峰度的分布特征，在一些金融時(shí)間序列里，相比于正態(tài)分布，收益率的無(wú)條件分布密度一般具有更大的峰度和更厚的尾部。綜上所述，我國(guó)使用 VaR 方法仍然存在著特 殊的難度。 在對(duì)某一些資產(chǎn)進(jìn)行所有價(jià)值評(píng)估時(shí)，我們只能夠根據(jù)各自的實(shí)際情況進(jìn)行估算，而且評(píng)估人員的素質(zhì)存在較大的差異，因此導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果的精確性受到很大的影響。 操作缺陷 VaR 方法所使用的前提是需要收集大量的歷史數(shù)據(jù)來(lái)作為分析的基礎(chǔ)，然而我國(guó)金融市場(chǎng)發(fā)展的歷史比較短，金融分析里面的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的運(yùn)用同樣都面臨著樣本數(shù)據(jù)的問(wèn)題。如果在一個(gè)比較健全的完善的資本市場(chǎng)里面，這一假設(shè)有可能是成立的。 市場(chǎng)缺陷 VaR 模型首先是假設(shè)金融資產(chǎn)的收益率呈現(xiàn)的是正態(tài)分布的。 表 特征 方差 —— 協(xié)方差法 歷史模擬法 假定特定的參數(shù)分布，隨機(jī)產(chǎn)生數(shù)據(jù) 歷史分布的確定 利用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)正態(tài)分布 的標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù) 利用過(guò)去 N 期收益率 的實(shí)際變化計(jì)算頻度分布 全部 金融工具頭寸的定價(jià) 線性 全部 全部 給定 95%或 99%置信水平， 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的推導(dǎo)方法 用 （ 99%）或者 （ 95%） 乘以資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差 排列資產(chǎn)組合的順序，選擇在 1%或 5%概率下發(fā)生的損失值 計(jì)算速度 快 有時(shí)快 慢 管理層的可理解性 難理解 易理解 難理解 容易進(jìn)行情景分析 否 否 是 主要缺點(diǎn) 線性近似、極端事件 隨時(shí)間同變化、極端事件 模型風(fēng)險(xiǎn) 15 我國(guó) VaR 風(fēng)險(xiǎn)度量方法應(yīng)用存在的問(wèn)題討論 在我國(guó)這個(gè)獨(dú)特的經(jīng)濟(jì)體制下，我們要研究風(fēng)險(xiǎn)管理 的度量方法，必須面對(duì)兩大難題，或者說(shuō)是兩大缺陷。 三種 VaR 計(jì)算方法的直觀比較 三類 VaR 模型的計(jì)算方法各不相同，對(duì)于不同的條件和環(huán)境，我們可以選擇不同的方法來(lái)計(jì)算VaR 值。當(dāng)投資組合所包含的工具的條件符合一些常用軟件的設(shè)定條件時(shí)，我們可以選擇 Delta，因?yàn)樗沁@種條件下比較方便操作。金融產(chǎn)品的價(jià)格波動(dòng)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，不同產(chǎn)品的價(jià)格波動(dòng)范圍以及方式也不盡相同，單單用一種特定的模型我們沒(méi)有辦法來(lái)模擬真正的市場(chǎng)上金融 產(chǎn)品的價(jià)格波動(dòng)，因而對(duì)于模型的選擇會(huì)給我們帶來(lái)一定的選擇 14 誤差。例如，它的計(jì)算量龐大，一般來(lái)說(shuō)，一種復(fù)雜的證券組合往往包括不同貨幣的各種債券、股票、遠(yuǎn)期以及期權(quán)等等的金融工具，它的基礎(chǔ)市場(chǎng)因子包括了多種結(jié)算單位不同的、期限不同的利率、匯率，我們需要對(duì)它們進(jìn)行幾千次甚至幾萬(wàn)次的模擬，這是一件非常龐大的工程。蒙特卡洛模擬法的優(yōu)點(diǎn)在于它不會(huì)受到金融工具類型復(fù)雜性、金融時(shí)間序列的非線性、厚尾性等等問(wèn)題的限制，比較能夠較好的處理諸如非線性問(wèn)題，而且估算精度好，計(jì)算機(jī)為這一方 法提供了強(qiáng)有力的計(jì)算支持。它的應(yīng)用極其靈活，可以用于不同收益率走勢(shì)的假設(shè)下以及利用計(jì)算機(jī)模擬生成大量的情景，這樣做會(huì)使得它在測(cè)算風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)候?qū)赡艹霈F(xiàn)的各種情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，能夠得出更加可靠、更加綜合的結(jié)論。這就是為什么 Delta 正態(tài)法會(huì)失效的原因。 方差 —— 協(xié)方差法 應(yīng)用范圍及缺陷 方差 —— 協(xié)方差法又被人們稱為 Delta 正態(tài)法，這種方法在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用并不常見(jiàn)。 三種 VaR 值計(jì)算方法應(yīng)用的范圍以及缺陷分析 歷史模擬法 應(yīng)用范圍及缺陷 同方差 —— 協(xié)方差法和蒙特卡羅模擬法相比，歷史模擬法更加簡(jiǎn)單而且便于操作，它不需要我們隊(duì)回報(bào)率分布形式作出假設(shè)，就可以解決諸如回報(bào)率分布厚尾或者分布不對(duì)稱等等問(wèn)題，同時(shí)也避免了因?yàn)閰?shù)估計(jì)或者選擇模型而引起的一些誤差 。 （ 2） 對(duì)模型中的隨機(jī)變量建立一個(gè)抽樣方法，然后在計(jì)算機(jī)上我們進(jìn)行模擬試驗(yàn)，抽取出足夠多的隨機(jī)數(shù)，并且對(duì)所有相關(guān)的事件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。它的基本步驟如下所示。他的基本思路是不斷重復(fù)模擬金融變量的隨機(jī)過(guò)程，使模擬出來(lái)的值包括大部分可能的情況，這樣通過(guò)模擬就能夠得出組合價(jià)值的整體分布情況，在這個(gè)基礎(chǔ)之上，我們就可以求出 VaR 。在正態(tài)分布的假設(shè)下， ix 為組合中每個(gè)相關(guān)金融工具對(duì)風(fēng)險(xiǎn)因子 i 的Delta 之和。 （ 4） 我們可以根據(jù)以上所述所求解的損益分布，通過(guò)分位數(shù)求出給定置信度下 的VaR。 （ 2） 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)因子在歷史上某一時(shí)期的 N+1 個(gè)時(shí)期的價(jià)格時(shí)間序列，計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)因子過(guò)去 N+1 個(gè)歷史時(shí)期內(nèi)的實(shí) 際價(jià)格水平的變化，我們會(huì)得到 N 個(gè)變化水平，假定未來(lái)的價(jià)格水平變化趨勢(shì)與過(guò)去完全相似，即過(guò)去 N+1 個(gè)時(shí)期內(nèi)價(jià)格水平的 N 個(gè)變化在可預(yù)知的將來(lái)都有可能出現(xiàn)，由此我們結(jié)合市場(chǎng)因子的當(dāng)前價(jià)格水平就能夠直接模擬出風(fēng)險(xiǎn)因子未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)的 N種可能的價(jià)格水平。 歷史模擬法是直接根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)因子收益的歷史總結(jié)數(shù)據(jù)來(lái)模擬投資組合在