【正文】 ? 0 及 ? 0 ，存在正數(shù) ? ???,? ， 使?n ? ???,? 時(shí)， ? ????? ffm n ? . 依測(cè)度收斂用文字?jǐn)⑹?，就是說(shuō)，如果事先給定一個(gè) ? 0（誤差）不論這個(gè) ? 有多么小使得 ? ? ? ?xfxfn ? 大于 ? 的點(diǎn) x 雖然可能很多，但是這些點(diǎn)的全體的測(cè)度隨著 n無(wú)限增大而趨向于零 . 引理 設(shè) ??xfn 是 ? 上幾乎處處有限的可 測(cè)函數(shù) ? ? ???m ， 若 ? ? ? ?xfxfn ? ，..ea ??x ，則對(duì)于任意 0?? ， y有 ? ? ? ? ? ?? ?|:nnx x f x f x??? ? ? ? ? ? 有 ? ? 0lim ????????? ????? ?jn njm ? （ *） 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 證明 很明顯，上限集 ? ???????? ?1j jn n中的點(diǎn)必不是收斂點(diǎn)，從而由題設(shè)可知? ? 01????????? ???????j jn nm ? 根據(jù)遞減集合列測(cè)度定理，可知（ *）成立 . 例如 若 ? ? ??? 于.., eaxfn ， ??xfn 可測(cè)且 ? ? .???m ?? ??xf ..ea 于 ? ，若? ? ? ?xfxfnn ???lim ..ea 于 ? ，則 ??xfn ? ?xf? 證明 已知條件滿足引理 的條件，所以對(duì)于任意 0?? ，得 ? ? ? ?? ?l im | 。210,0xx ， 再將區(qū)間四等分，在 ? ?1,0 上定義 4個(gè)函數(shù)： ??xf21 =?????????????????????.41,0,0。 Riesz )定理， ??? ?xfkn中必有子列 ? ?? ?xfjkn， 使得 ? ? ? ?xfxf jknj ???lim ..ea 于 ? ??? 設(shè) ??? ?xfn 的任何子列 ??? ?xfkn 都有子列 ? ?? ?xfjkn， ? ? ? ?xfxf jknj ???lim ..ea 于 ? 由此可證在 ? 上 nfm? f （反證）假設(shè)在 ? 上 ??xfnm?? ??xf，則 ? 0? 0 ，使得 ???nlim ? ?? ?0???? ffm n? 0 因此必有子列 ??? ?xfkn，使得 ???klim ? ?? ?0???? ffm kn0? . 由定理右條件， ? ???? xf knjlim ??xf jkn..ea 于 ? .根據(jù)上述定理可知，在上 ? 有??xf jkn m? ??xf ，所以 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 ???jlim ?????? ?????? ??? 0?ffm jkn =0 這與上述相矛盾 .證畢 . 定理 （ 黎斯 ） 設(shè)在 E上 { nf }測(cè)度收斂于 f 則存在子列 ??? ?xfsn在 E上 ..ea 收斂于 f ??x . 證明 有 ? ? ? ?xfxfn ? ， 0??? ? ???? ffmnnlim=0 則任給 0?s 取 ?? ?? s21 對(duì)于s21??? NnN ?? , ?????? ??? sn ffm 21s? ??sn? 有 ?????? ??? sns ffm 21s21? ??sn? ， ??? 21 nn ?sn 于是取 ??s \? ?????? ??? sn ffs 21= ?????? ??? sn ffs 21 令 kF ? ?fx? 作 ???? 1k kFF 因 此 , ??? ?xfsn在 ???? 1k kFF上收斂 f ??x ， Fx?? 存在 0K ，使得 ??01K ， 0kFx?= ????NK s0，對(duì)于 ? ? ? ?xfxfn ?s21?， ??xfsn ? ?xf? ， Fx? ， 又 ? ? ? ?kFmFm \\ ??? = ???????? ?????NK sm \ = ? ????????? ?????NK sm \ ? ? ???? ??NK sm \ ???? NK s21 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 12 ???01K . 定理 （ 勒貝格 ) ????m ， ??? ?xfk 是 ? 上一列幾乎處處有限可測(cè)函數(shù)，? ? ? ? ???? 于..lim eaxfxf kn ， ? ? ???xf ..ea 于 ? ，則 ffk? . 證明 由已知有 0??? ? ??? ?,n ? ???? ???nk k ff ? 則 nlim ? ?? ??,\ nm ??=0 于是 ? ????? ffk ? ? ??,n? ? ?????? ?ffk\ ? ??,\ n?? ? ? ? ?? ? 0,\limlim0 ???????? ???? ?? nmffm nkk 有 0??? ? ? 0lim ?????? ?ffm kk ? ? ? ?xfxfn ? .證畢 . 一致收斂 與 依測(cè)度收斂之間的關(guān)系 定理 設(shè) )(xf ， )(1xf ， )(2xf ， ， )(xfn ? ??,2,1?n 是 ? 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù) .若對(duì)任給的 0?? ，存在 ???? 且 ? ? ?? ? ?? 使得 ??? ?xfn 幾乎處致收斂于 )(xf ，則 ??? ?xfn 在 ? 上依測(cè)度收斂于 )(xf . 證明 對(duì)任給的 ? ， 0?? ，依假設(shè)存在 ???? 且 ? ? ?? ??m ，及自然數(shù) 0n ，使得當(dāng) 0nn? 時(shí)，有 ? ? ? ? ,??? xfxfn ， x ? ???\ 由此可知 ? ? ? ?? ?????? xfxfx n: ??? 這說(shuō)明當(dāng) 0nn? 時(shí)，有 m ? ? ? ?? ?????? xfxfx n: ? ? ? ? ?? ?? ? 0:lim ???????? ?xfxfxm nk 所以 ? ? ? ?xfxfk ? . 基本上一致收斂與幾乎 處處收斂之間的關(guān)系 性質(zhì) 上一致收斂幾乎處處收斂一定基本在有限可測(cè)集上 ,[9]. 例如 ? ?? ? 列為一幾乎處處收斂函數(shù)xf n ，對(duì)于 ? ? ???m ， ? ? ? ? ???? 于..lim eaxfxf nn，則有 ???? ，使得 ?? ??m ，很顯然 ? ? ? ?xfxf n 基本上一致收斂于 . 性質(zhì) ????m在一般可測(cè)集 .幾乎處處收斂不一定基本上一致收斂 . 葉果洛夫定理 中 m ? +?的 條件不可少 .如取 ? ?,0???? 作函數(shù)列：取 1?? ，則對(duì)任何可測(cè)集 ???? ，若 1??? ??m ，故 ? ?\m ?? ? ??. 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 13 于是 ???? 集無(wú)界，取 ? =21 ，對(duì)任意 N ，存在 n =N +1和 0x N +1，且 0x ? ????時(shí)， ? ? ? ?00 xfxfk ? = ???10 . 所以 ??? ?xfk 在 ???? 上 不一致收斂于 )(xf . 性質(zhì) 不論 是 在有限的可測(cè)集還是一般的可測(cè)集上，基本上一致收斂一定幾乎處處收斂，葉果洛夫定 理的逆定理成立可說(shuō)明 . 例 葉果洛夫定理的 逆定理為 ??)(Em ，對(duì)于任意 ? ? 0，實(shí)數(shù)系函數(shù)列 ??? ?xfn 在?? 上一致收斂于 ??xf ，且 ?? ??? )\(m ，則存在子集 ?? ?? ， 使得 ? ? ? ?xfxfnn ???lim ?于..ea .則可以看出基本上一致收斂的函數(shù)列幾乎處處收斂 . 定理 設(shè)可測(cè)集 E 上 ? ?? ? ? ? ? ?1 , 2 ,kf x k f x?可 測(cè) 函 數(shù) 列 基 本 上 一 致 收 斂 于，則函數(shù)序列 ??? ?xfk 幾乎處處收斂于 )(xf . 證明 由函數(shù)列基本上一致收斂，即對(duì)于每一個(gè) ?n N ，存在 0?? ，有可測(cè)集???? ，使得 ? ? nm 1???? ? . 而序列 ??? ?xfk 在 ?? 上一致收斂于 )(xf .令 ??* ,1????k ?則 ??xfk 在 *? 上處處收斂于 )(xf .其實(shí)，當(dāng) ?x *? 時(shí)， x 一定屬于某一個(gè) ?? .既然 ??kfx在 ?? 上一致收斂于()fx，自然在 *? 上也收斂于 )(xf .同時(shí)，我們斷定 ? ?0* ????m 這是因?yàn)?，?duì)每個(gè)自然數(shù) n 有 ? ????? *m ? ? ? ? 1mm n??? ? ? ? ? ? ? ? ? 因而 ? ? 0* ????m 所以 ? ? ? ?li m . .kk f x f x a e?? ??　 . 基本上一致收斂與依測(cè)度 收斂之間的關(guān)系 不論是在有限可測(cè)集還是一般可測(cè)集上，基本上一致收斂的函數(shù)列一定是依測(cè)度收斂的函數(shù)列 . 例如 ? 為一可測(cè)集， ? ?? ? ? ?,xfxf n 上基本上一致收斂于在 ? 即對(duì)于 0??? ，存在可測(cè)子集 ??? ????? m，使得 ，有 ? ? ? ?，xfxfnn ???lim ? ? ?? ??? ffm n則有，可以得到 ? ? 0lim ????? ?ffm nn 所以 ? ? ? ?xfxfn ? . 命題 設(shè) ??xf 和 ??xf1 ， ??xf2 ??xfk ， ? ??,2,1?k 都是可測(cè)集 ? 上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，若 ? ?? ?kfx在 ? 上是基本上一致收斂于 )(xf 的，則 ? ? ? ?xfxfk ? . 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 14 證明 由條件對(duì)任意及 0?? ， 0?? ，存在 N =N ? ???, 及 ? 的 ??可測(cè)子集 ，且?? ??m ，當(dāng) n ? N 時(shí)， 0?? 對(duì) ? x ? ???? ， ? ? ? ? ??? xfxfk |，所以，對(duì)任意x ? ???? ， ?x ? ? ? ?? ?,??? ???Nk k xfxf ? ???? ? ? ? ? ?? ?kkN f x f x ??? ? ? ? 于是對(duì)任何 ? ? ??????? ???Nn n ffx ?? ???? ???Nn n ff ?，必有 x ? ?? ， 即 ? ? ????????Nn n ff 綜上所述，對(duì) ? 0， ? 0，存在 N =N ? ???, 時(shí)， ? ? ?? ??????????? ???? mffm Nn n? 從而 ? ? ???? ffm n 由依測(cè)度收斂的定義可知 )(xfn ? )(xf .證畢 . 實(shí)數(shù)系下一致收斂的函數(shù)列，必定是基本上一致收斂的；反之，基本上一致收斂的函數(shù)不一定一致收斂，這里由兩者的定義就可以看出來(lái) . 本章著重介紹了 關(guān)于 函數(shù)列 一致收斂、依測(cè)度收斂、幾乎處處收斂之間 內(nèi)在 的關(guān)系 ，從討論中可以知道其中對(duì)于一致收斂的函數(shù)列條件要求最為嚴(yán)苛，而對(duì)于一致收斂函數(shù)列來(lái)說(shuō)，它們也是基本上一致收斂、依測(cè)度收斂、幾乎處處收斂 .雖然基本上一致收斂的函數(shù)列對(duì)于一致收斂條件要求比較寬松，但是基本上一