數(shù)學分析數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質-全文預覽
【正文】 ? ? ?是最基本的 , 而教材上的證法技巧性較強 . 21 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 112 ! !n nn n n nennn nn??? ? ? ? ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !n n n? ? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 1 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .( 1 ) ! 1 1 1nn n n n? ? ? ?? ? ? ?由此得 11 nne ??的 前 項 小 , 而 的 最 后 一 項 大 于 零 . 因 此? 1 ,n n ne e e把 和 的 展 開 式 作 比 較 就 可 發(fā) 現(xiàn) 的 展 開11 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 1 3 ! 1 1ne n n n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )! 1 1 1nn n n n?? ? ? ? ?? ? ??? 11 n式 有 項 , 其 中 的 每 一 項 都 比 的 展 開 式 中返回 后頁 前頁 1 , 1 , 2 , .nne e n???{ e }n從 而 是 單 調 增 數(shù) 列 , 且1 1 1 11 . ( 2 )1! 2 ! 3 ! !ne n? ? ? ? ? ?211 1 11 1 3 ,2 22n ne ?? ? ? ? ? ? ?由 此{ } . li m .nn nee ??這 就 證 明 了 又 是 有 界 數(shù) 列 于 是 存 在e,記 此 極 限 為 即1e lim ( 1 ) .nn n????返回 后頁 前頁 *例 3 1 1 1 11 , 1 , 2 , ,1! 2 ! 3 ! !nsn n? ? ? ? ? ? ?設211 1 11 1 3 ,2 22n ns ?? ? ? ? ? ? ? ?證 {} ns顯 然 是 單 調 增 數(shù) 列 , 且 由 例 2 中 的 (2) 式 ,li m ,nn s??因 此 存 在 且 由 極 限 的 保 不 等 式 性e li m li m .nnnnes? ? ? ???1 1 1 111! 2 ! 3 ! !ne n? ? ? ? ? ?li m e .nn s?? ?證明 : 返回 后頁 前頁 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ,!mm n n n?? ? ? ? ?, n因 此 在 上 式 中 兩 邊 令 得??,nm又 對 任 意 ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !ne n n n? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )!nn n n n?? ? ? ? ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !n n n? ? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 .1 1 1 1e lim 11! 2 ! 3 ! !nmn es m??? ? ? ? ? ? ? ?,m ??當 時 由 極 限 的 保 不 等 式 性 ,e lim .mm s???從 而1 1 1 1e lim lim ( 1 ) .1! 2 ! 3 ! !nnn s n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1e lim ( 1 ) ,1! 2 ! 3 ! !n n由 公 式 可 以 較 快??? ? ? ? ? ? 算 出 的 近 似 值返回 后頁 前頁 由 于1 1 10,( 1 ) ! ( 2 ) ! ( ) !n m nss n n n m?? ? ? ? ? ?? ? ?,m ??令 得 到10 e , 1 , 2 , .!nsnnn? ? ? ?101 0 , e 2 . 7 1 8 2 8 1 8 ,ns? ? ?取 其 誤 差71010 e 1 0 .1 0 1 0 !s?? ? ? ??返回 后頁 前頁 例 4 . : s u p ,S S a S設 是 有 界 數(shù) 集 證 明 若 則 存??{ } , li m .nn nx S x a????在 嚴 格 單 調 增 數(shù) 列 使 得證 0 , ,a S x S?? ? ? ?因 是 的 上 界 , 故 對 使 得. , ,x a a S x a?? ? ? ?又 因 故 從 而 有.a x a?? ? ?111 , ,xS? ? ? ?現(xiàn) 取 則 使 得11 .a x a?? ? ?2 1 21min { , } , ,2 a x x S? ? ? ? ?再 取 則 使 得返回 后頁 前頁 ? ? ?12 ,a x a?1, nx ?一 般 地 按 上 述 步 驟 得 到 之 后 , 取11min { , } ,nn axn? ???,nxS?則 存 在 使 得? ? ? ,nna x a?2 2 1 1( ) .x a a a x x?? ? ? ? ? ?且 有11( ) .n n n nx a a a x x? ??? ? ? ? ? ?且 有{ } ,nxS ?于 是 得 到 它 是 嚴 格 單 調 的 , 滿 足返回 后頁 前頁 ? ? ? ,nna x a?li m .nn xa?? ?這 就 證 明 了? ? ? ?1 , 1 , 2 ,
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