[所有分類]一致收斂性(已修改)
2025-01-31 13:10 本頁面
【正文】 返回 后頁 前頁 167。 1 一致收斂性 三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法 返回 對(duì)于一般項(xiàng)是函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)，其收斂性 要比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)雜得多，特別是有關(guān)一致收 斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應(yīng)用上有 著重要的地位 . 一、函數(shù)列及其一致收斂性 二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性 返回 后頁 前頁 一、函數(shù)列及其一致收斂性 設(shè) 12, , , , ( 1 )nf f f是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù) ,稱為定義在 E 上的函數(shù)列 . (1) 也可記為 ?{ } , 1 , 2 , .nnf f n或以 0xE? 代入 (1), 可得數(shù)列 1 0 2 0 0( ) , ( ) , , ( ) , . ( 2 )nf x f x f x返回 后頁 前頁 0x 0x如果數(shù)列 (2)收斂 , 則稱函數(shù)列 (1)在點(diǎn) 收斂 , 稱 為函數(shù)列 (1)的收斂點(diǎn) . 如果數(shù)列 (2)發(fā)散 , 則稱函數(shù) 列 (1)在點(diǎn) 0x 發(fā)散 . 當(dāng)函數(shù)列 (1)在數(shù)集 上每一 DE?點(diǎn)都收斂時(shí) , 就稱 (1)在數(shù)集 D 上收斂 . 這時(shí) D 上每 x { ( )}nfx一點(diǎn) 都有數(shù)列 的一個(gè)極限值與之相對(duì)應(yīng) , 根據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的 D 上的函數(shù) , 稱為函數(shù) 列 (1)的極限函數(shù) . 若將此極限函數(shù)記作 f, 則有 l i m ( ) ( ) ,nn f x f x x D?? ??返回 后頁 前頁 或 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ? ?N? ? xD?函數(shù)列極限的 定義 : 對(duì)每一固定的 , 任 , 總存在正數(shù) N(注意 : 一般說來 N值與 ?給正數(shù) 和 ?, x)表示三者之間 的值都有關(guān) , 所以有時(shí)也用 N( x ?的依賴關(guān)系 ), 使當(dāng) nN? 時(shí) , 總有 | ( ) ( ) | .nf x f x ???使函數(shù)列 {}nf 收斂的全體收斂點(diǎn)集合 , 稱為函數(shù)列 {}nf 的 收斂域 . 返回 后頁 前頁 例 1 ( ) , 1 , 2 , ,nnf x x n? ? ? ?設(shè) 為定義在( )上的 函數(shù)列 , 證明它的收斂域是 ( 1, 1]? , 且有極限函數(shù) 0, | | 1 ,()1 , 1.xfxx???? ?? 證 0 ( 1 ) , 0 | | 1 ,x??任給 不妨設(shè) 當(dāng) 時(shí) 由于? ? ? ?| ( ) ( ) | | | ,nnf x f x x??ln( , ) , ( , )l n | |N x n N xx?????只要取 當(dāng) 時(shí), 就有| ( ) ( ) | | | | | .nNnf x f x x x ?? ? ? ?返回 后頁 前頁 0 1 , ,x x n??當(dāng) 和 時(shí) 則對(duì)任何正整數(shù) 都有| ( 0 ) ( 0 ) | 0nff ? ，? ? ?| ( 1 ) ( 1 ) | 0 .nff ?? ? ?式所表示的函數(shù) . | | 1 | | ( ) ,nx x n當(dāng) 時(shí), 有? ? ? ? ? ?1,x當(dāng)時(shí)??又 1 , 1 , 1 , 1 ,??對(duì) 應(yīng) 的 數(shù) 列 為 顯然是發(fā)散的 . 所以 {}nx ( 1, 1]?函數(shù)列 在區(qū)間 外都是發(fā)散的 . 故所討論 的 函數(shù)列的收斂域是 ( 1, 1].?這就證明了 在 ( , 1] 上收斂 , 且極限就是 (3) {}nf 1?返回 后頁 前頁 例 2 sin( , ) ( ) ,n nxfx n? ? ? ? ?定義在 上的函數(shù)列1 , 2 , .n ?s i n 1 ,nxnn?10 , ,nN??故對(duì)任給的 只要 就有? ? ?s i n n ???,x由于對(duì)任何實(shí)數(shù) 都有返回 后頁 前頁 所以函數(shù)列 ? ?s in ( , ) ,n x n ? ? ? ?的 收 斂 域 為 極 限( ) 0 .fx ?函 數(shù) 為注 對(duì)于函數(shù)列 , 僅停留在討論在哪些點(diǎn)上收斂是遠(yuǎn) 遠(yuǎn)不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具 有的解析性質(zhì)的關(guān)系 . 例如 , 能否由函數(shù)列每項(xiàng)的 連續(xù)性、可導(dǎo)性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo) 性 。 或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分 , 是否分別是函數(shù)列 每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限 . 對(duì)這些更深刻問題的討論 , 必須對(duì)它在 D上的收斂性提出更高的要求才行 . 返回 后頁 前頁 設(shè)函數(shù)列 {} nff與函數(shù) 定義在同一D定義 1 數(shù)集 上， , N?若對(duì)任給的正數(shù) 總存在某一正整數(shù) 使當(dāng) nN? ,xD?對(duì)一切 都有時(shí)， | ( ) ( ) |nf x f x ??? ，{} nf D f則稱函數(shù)列 在 上一致收斂于 , 記作? ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ?由定義看到 , 一致收斂就是對(duì) D 上 任何一點(diǎn) , 函數(shù)列 趨于極限函數(shù)的速度是 “ 一致 ” 的 . 這種一致性體現(xiàn) 返回 后頁 前頁 ( ).N ?顯然 , 若函數(shù)列 ? ?nf 在 D 上一致收斂 , 則 必在 D 上 每一點(diǎn) 都收斂 . 反之 , 在 D 上每一點(diǎn)都收斂的函數(shù)列 , 它在 D 上不一定一致收斂 . 為 : 與 相對(duì)應(yīng)的 N 僅與 有關(guān) , 而與 x 在 D 上的 ? ?取值無關(guān) , 因而把這個(gè)對(duì)所有 x 都適用的 N 寫作 例 2 中的函數(shù)列 si n nxn?????? 是一致收斂的 , 因?yàn)閷?duì)任意 返回 后頁 前頁 , x?正 數(shù) 不 論( ,+ )??給定的 取 上什么值 , 都有 N ?? 1 ,nN當(dāng) 時(shí) 恒有? s i
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