迭代法及其收斂性ppt課件(參考版)
2025-05-06 18:36本頁面
【正文】 解 ： 松 弛 法 ： 方 程 改 寫計(jì) 算 2( 1 ) ( 2 ) ( 1 )1 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 2 ) ( 1 )1 1 1 1 1 1032( 2)20()2 10( ) , ( )( ) / 2 ,1,( 3 )( ) 2 ( 2 ) / 10,n n n nn n n n n n nAi t k e nxxxx x x xx x x x x x xxAi t k e nx x x????? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ??? ? ?用 方 法取利 用取用 方 法 ， 取。? 1()1( ) , ( ) ,1111( ) ( ( ) ) , ,11( 1 ) ( ) ,kkn n n n n nx x xx x x x xxxx x x???????? ? ? ???? ? ? ???? ? ?????? ? ???? ? ?松 弛 法 ： 對 方 程 兩 邊 加 上整 理 得 令 求 導(dǎo)記 ： 得 到 迭 代 方 程是 松 弛 因 子 ， 這 就 是 松 弛 法 。 ，可知 ，再由（ ）得 ],[ ba],[* bax ? )(xg],[}{ bax k ?.***)()(*011xxLxxLxgxgxxkkkk???????????因 ，故當(dāng) 時(shí)序列 收斂到 . 10 ?? L ??k }{ kx *x 再證明估計(jì)式（ ），由李普希茲條件有 .)()( 111 ??? ????? kkkkkk xxLxgxgxx （ ） 反復(fù)遞推得 .011 xxLxx kkk ????于是對任意正整數(shù) 有 p.1)(0101211211xxLLxxLLLxxxxxxxxkkpkpkkkpkpkpkpkkpk???????????????????????????????在上式令 ，注意到 即得式（ ）證畢 . ??p *lim xxpkp ???? 迭代過程是個(gè)極限過程 . 在用迭代法實(shí)際計(jì)算時(shí)，必 須按精度要求控制迭代次數(shù) . 誤差估計(jì)式（ ）原則上可用于確定迭代次數(shù)，但它 由于含有信息 而不便于實(shí)際應(yīng)用 . L 根據(jù)式（ ），對任意正整數(shù) 有 p1211( 1 )1 .1ppk p k k kpkkx x L L x xL xxL?????? ? ? ? ? ?????在上式中令 知 ??p.1 1* 1 kkk xxLxx ???? ? 由此可見，只要相鄰兩次計(jì)算結(jié)果的偏差 足夠小即可保證近似值 具有足夠精度 . kk xx ??1kx 對上述定理中的壓縮性， 在使用時(shí)如果 且對任意 有 ],[)( 1 baCxg ?],[ bax ?,1)( ??? Lxg （ ） 則由中值定理可知對 有 ],[, bayx ??).,(,))(()()( 212121 baxxLxxgxgxg ??????? ??表明定理中的壓縮性條件可用（ ）代替 . 例 ，當(dāng) 時(shí)， ,在 區(qū)間 中， ，故（ ）成立 . 3 1)( ?? xxg 3/2)1(31)( ???? xxg]2,1[ 14131)(3/1????????? xg又因 ，故定理 1中條件 1176。 壓縮性 存在正常數(shù) ,使對 都有 10 ?? L ],[, 21 baxx ??.)()( 2121 xxLxgxg ??? （ ） , L其 中 稱 為 ， 或 稱 為 。 迭代法及其收斂性 不動點(diǎn)迭代法的基本概念和迭代格式的構(gòu)造 將方程（ ）改寫成等價(jià)的形式 ).( xgx ? （ ） 若要求 滿足 ，則 ；反之亦然， 稱 為函數(shù) 的一個(gè)不動點(diǎn) . *x 0*)( ?xf *)(* xgx ?
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