jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的收斂性(參考版)
2025-07-20 15:04本頁面
【正文】 從而有 ，GS法收斂，定理得證。 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，因此 。因此，由定理 5. 6又可知，若 ，則相應(yīng)的 GS法也收斂。 0))(de t ( ??? ULD? ? 1??證 第五章線性方程組迭代解法 用反證法，假設(shè) ，則由 A的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)性有 1??????nijjijii aa,1??????????nijijijij aa111? ， ni ,2,1 ?? 。 1??JB 對(duì) GS法，迭代矩陣 ，這里 。 ULDA ??? 對(duì) J法，迭代矩陣 ，易得 )(1 ULDBJ ?? ??????? ?ijj iiijniJ aaB,11m ax 。 定理 若 A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，或不可約的弱對(duì)角占優(yōu)矩陣，則解方程組 的 J 法和 GS法均收斂。 第五章線性方程組迭代解法 以上兩個(gè)定理說明，若 A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約弱對(duì)角占優(yōu)陣，則 J 法和GS法都可以計(jì)算。若有 和 ，使得 ，則由 得知 ),2,1( nix i ?? ? ?,2,1,: nixxkJ ik ????Jk? Jm? 0?kma 1/ ?km xx.,1,1????????nkjjkjkjnkjjkjkk axxaa這與 A 的弱對(duì)角占優(yōu)性相矛盾，因此 .,0 JmJka km ?????這又導(dǎo)致與 A 的不可約性相矛盾。 ,0),( 21 ?? Tnxxxx ? 若 由 Ax=0的第 k個(gè)方程有 ,021 ???? nxxx ?.,2,1,1nkaankjjkjkk ??? ???這與 A 的弱對(duì)角占優(yōu)性相矛盾。 )( ijaA? ,2,1,0 nia ii ??? 證 若有某個(gè) ，由 A 的弱對(duì)角占優(yōu)性質(zhì)可知 A 的第 k行元素均 為零。設(shè) 則 Ax=0的第 k個(gè)方 程有 ,2,1,0 nia ii ???,0),( 21 ?? Tnxxxx ? ,0?? ?xx k,1jnkjjkjkkk xaxa ?????由此得到 ,1,1????????nkjjkjkjnkjjkjkk axxaa這與嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矛盾，定理得證。 定理 若 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則 且 A 非奇異。如果不存在排列陣 P 使 （ ）成立，則稱 A 為 不可約的 。若滿足 ,2,1,1niaanijjijii ??? ???且其中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則稱 A 為 弱對(duì)角占優(yōu)矩陣 。下面給出一些容易驗(yàn)證收斂性的 充分條件，先討論對(duì)角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)。 Tx )0,0,0()0( ?5)14()15( 10 ?? ?? xx5)8()9( ???? xx k 表 51 )(1kx )(2kx )(3kx 0 0 0 0 1 2 … … … …
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