第6章解線性方程組的迭代法(參考版)
2025-07-23 06:24本頁面
【正文】 ?)1,即 S0R方法收斂 . 可得 ?=2?/? 設 ?是 B的任一特征值 , y是對應的特征向量 , 則 (L+U)y=?Dy 于是 (Ly,y)+(Uy,y)=?(Dy,y) 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 當 A對稱正定時 ,即 2??0時 ,|?|1? 2?+?0 而 ((2DA)y,y)=(Dy,y)+(Ly,y)+(Uy,y) =?+2? 即 ,當 A對稱正定時 ,Jacobi迭代法收斂 ?2DA正定 . 。?) =det[(D?L)1 ((1?)D+?U)] =det[(E?D1L)1 ]det[(1?)E+?D1U)] =(1?)n 于是 |1?|1, 或 0?2 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定理 設 A是對稱正定 矩陣 , 則解方程組 Ax=b的 SOR方法 ,當 0?2時收斂 . 證 設 ?是 163。?)1,所以 |det(163。j++) { temp += A[i][j]*x2[j] } temp = (x2[i]b[i])/A[i][i] x2[i] = (1omega)*x2[i]+omega*temp } } 輸出解 x2 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )()1( 1)(1)1(1)()1( bDUxDLxDxx kkkk ????? ????? ??? 迭代矩陣 bDxUDIxLDI kk 1)(1)1(1 ))1(()( ???? ????? ????bDLDIxUDILDIx kk 111)(111)1( )())1(()( ??????? ?????? ?????bDLDIgUDILDIG111111)( ))1(()( ??????????????????定理： 松弛迭代收斂 20 ??? ?定理： A對稱正定，則松弛迭代收斂 20 ??? ?是否是原來的方程的解？ 數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS SOR方法收斂的快慢與松弛因子 ?的選擇有密切關系 .但是如何選取最佳松弛因子 ,即選取 ?=?*,使 ?(163。j++) { temp += A[i][j]*x2[j] } for(j=i+1。i++) { temp0 for(j=0。若在修正量前乘以一個因子 ? ，有 )()()1( kkk xxx ???? ?)( )()1(1)1( bUxLxDx kkk ??? ???對 Gauss－ Seidel迭代格式 )( )()1()()1( kkkk xxxx ??? ?? ?)( )(1)(1)1(1)()1( kkkkk xbDUxDLxDxx ????? ????? ?)()1( 1)(1)1(1)()1( bDUxDLxDxx kkkk ????? ????? ??數(shù) 學 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ?????????????????????????????????????)(1)1()()1()(1
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