[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第六章解線性方程組的迭代法(參考版)
2025-01-22 16:41本頁(yè)面
【正文】 ( a ) )1()()()1( ?? ??? kkkk xxqxx50 (3) 考查 )*(* )1()()()1( ?? ????? kkkk xxxxxx即 (4) 反復(fù)利用 (a), 則得到 (4). )()1()(11* kkk xxqxx ?????)*(* )1()( ????? kk xxxx,*)1( )( kxxq ???.1 )1()( ???? kk xxqq。4/)41( )(4)(3)1(2)1(1)(3)1(3 kkkkkk xxxxxx ?????? ??? ?.4/)41( )(4)1(3)1(2)1(1)(4)1(4 kkkkkk xxxxxx ?????? ???? ?32 取 ， ??,)9 9 9 9 9 9 1 20,9 9 9 9 9 9 5 30,0 0 0 0 0 3 1 01,9 9 9 9 9 6 4 60()11(T....x?????. 52)11( ????取其他 值，迭代次數(shù)如下表 . ?第 11次迭代結(jié)果為 33 10*10*52)(52)((最少 迭代次數(shù))的迭代次數(shù)滿足誤差松弛因子的迭代次數(shù)滿足誤差松弛因子16表???????xxxxkk?? 從此例看到，松弛因子選擇得好，會(huì)使 SOR迭代法的 收斂大大加速 . 本例中 是最佳松弛因子 . ??34 迭代法的收斂性 一階定常迭代法的基本定理 設(shè) ,bAx ?（ ） 其中 為非奇異矩陣， nnijaA ??? R)(記 為 ()精確解， *x.fBxxbAx ????于是 .** fBxx ??（ ） 且設(shè)有等價(jià)的方程組 35 設(shè)有解 的一階定常迭代法 bAx ?.)()1( fBxx kk ??? （ ） 問(wèn)題是： 迭代矩陣 滿足什么條件時(shí)，由迭代法產(chǎn)生 的向量序列 收斂到 B}{ )(kx .*x 引進(jìn)誤差向量 ).,2,1,0(*)()( ???? kxx kk?由 ()式減 ()式得到誤差向量的遞推公式 ,)()1( kk B ?? ??).,2,1,0()0()( ??? kB kk ??36 由 ，研究迭代法 ()收斂性問(wèn)題就是要研究 迭代矩陣 滿足什么條件時(shí)，有 B( 零矩陣) .0lim ??? kk B 定義 2 設(shè)有矩陣序列 及 , nnkijk aA ??? R)( )( nnijaA ??? R)(如果 個(gè)數(shù)列極限存在且有 2n),2,1,(lim )( njiaa ijkijk ?????則稱 收斂于 ， }{ kA A .lim AAkk ???記為 37 例 4 ,0 1 ???????????A且設(shè) ，考查其極限 . 1?? 解 由于，當(dāng) 時(shí)，有 1??設(shè)有矩陣序列 ,0 2 222 ????????????A ?? ,0,1????????? ?kkkk kA???.00 00limlim ??????????????kkkkAA.0lim ??? kk ?所以 38 矩陣序列極限概念可以用矩陣算子范數(shù)來(lái)描述 . 定理 1 0limlim ???? ???? AAAA kkkk 證明 .0limlim ???? ????? AAAA kkkk再利用矩陣范數(shù)的等價(jià)性，可證定理對(duì)其他算子范數(shù)亦對(duì) . 定理 2 ???? AA kklim 對(duì)任何向量 都有 nx R?.lim AxxA kk ???其中 ‖ 4/)41( )(4)(3)(2)(1)(1)1(1kkkkkkxxxxxx ?用 SOR 解 。,1( ?? ?? kni28 或 ??????????? ? ,),()0()0(1)0( Tnxxx ?,)()1( ikiki xxx ????,/1)(11)1(iinijkjijijkjijii axaxabx ???????? ???? ????????（ ） 為松弛因子.?),1,0。,1( ?? ?? kni或 ????????? ? ,),()0()0(1)0( Tnxxx ?,)()1( ikiki xxx ????,/1)(11)1(iinijkjijijkjijii axaxabx ???????? ???? ???????（ ） ).,1,0。1 第 6章 解線性方程組的迭代法 2 迭代法的基本概念 Jacobi迭代法與 GaussSeidel迭代法 超松弛迭代法 共軛梯度法 3 迭代法的基本概念 考慮線性方程組 ,bAx ?（ ） 其中 為非奇異矩陣，當(dāng) 為低階稠密矩陣時(shí)，第 5章所討 論的選主元消去法是有效方法 . A A 但對(duì)于 的階數(shù) 很大，零元素較多的大型稀疏矩陣 方程組，例如求某些偏微分方程數(shù)值解所產(chǎn)生的線性方程 組來(lái)說(shuō)，利用迭代法求解則更為合適 . A n 迭代法通常都可利用 中有大量零元素的特點(diǎn) . A4 例 1 ??????????????.361236,33114,20238321321321xxxxxxxxx （ ） 記為 ,
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