[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第六章解線性方程組的迭代法-wenkub
2023-02-03 16:41:02 本頁面
【正文】 ， B1?? qB (1) 迭代法收斂， 即對任取 )0(x.***lim fBxxxx kk ????? 且.**)2( )0()( xxqxx kk ???(迭代法收斂的充分條件 ) 設(shè)有方程組 則 .1*)3( )1()()( ????? kkk xxqqxx49 .1*)4( )0()1()( xxqqxxkk ???? 證明 (2) 由關(guān)系式 及 )*(* )()1( kk xxBxx ??? ?).( )1()()()1( ?? ??? kkkk xxBxx.**( b ) )()1( kk xxqxx ??? ?反復(fù)利用 (b)即得 (2). (1) 由基本定理 4結(jié)論 (1)是顯然的 . 有 。,1( ?? ?? kni 關(guān)于 SOR迭代法 ， 有 (1) 顯然，當(dāng) 時， SOR方法即為高斯 塞德爾迭 代法 . 1??29 (2) SOR方法每迭代一次主要運算量是計算一次矩陣與向量的乘法 . (3) 當(dāng) 時，稱為超松弛法；當(dāng) 時，稱為低 松弛法 . 1?? 1?? (4) 在計算機(jī)實現(xiàn)時可用 ????? ????? )()1(11 m a xm a x kikiniini xxx控制迭代終止，或用 控制迭代 終止 . ???? ?? )()( kk Axbr SOR迭代法是高斯 塞德爾迭代法的一種修正 . 30 設(shè)已知 及已計算 的分量 )(kx )1( ?kx ).1,2,1()1( ??? ijx kj ? (1) 首先用高斯 塞德爾迭代法定義輔助量 ,~ )1( ?kix./~1)(11)1()1(iinijkjijijkjijiki axaxabx ???????? ??? ????????（ ） (2) 再由 與 加權(quán)平均定義 ， )(kix )1(~ ?kix )1( ?kix)1()()1( ~)1( ?? ??? kikiki xxx ??將 ()代入 ()得到解 的 SOR迭代 ()式 . bAx ?即 （ ） ).~( )()1()( kikiki xxx ??? ??31 例 3 ,111141111411114111144321???????????????????????????????????????????????xxxx它的精確解為 .)1,1,1,1(* Tx ?????取 0)0( ?x??????? ??????? 。)9 9 9 8 8 1 ,9 9 9 8 3 ,0 0 0 0 3 ()10( Tx ?8 從此例看出，由迭代法產(chǎn)生的向量序列 逐步逼近 )(kx方程組的精確解 . *x 對于任何由 變形得到的等價方程組 ， fBxx ??bAx?迭代法產(chǎn)生的向量序列 不一定都能逐步逼近方程組 的解 . )(kx*x* ) .( )10()10()10( xx ???? ?? 如對方程組 ???????.53,521221xxxx9 構(gòu)造迭代法 ?????????.53,52)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx則對任何的初始向量，得到的序列都不收斂 . 對于給定方程組 ， fBxx ?? 設(shè)有唯一解 ， *x.** fBxx ??（ ） 又設(shè) 為任取的初始向量， )0(x,2,1,0,)()1( ????? kfBxx kk （ ） 其中 表迭代次數(shù) . k則 按下述公式構(gòu)造向量序列 10 定義 1 (1) 對于給定的方程組 ， fBxx ??逐步代入求近似解的方法稱為 迭代法 (或稱為一階定常迭代 法，這里 與 無關(guān) ). B k (2) 如果 存在 (記為 )， )(lim kk x??*x顯然 就是方程組的解，否則稱此 迭代法發(fā)散 . *x用公式 () 稱此 迭代法收斂 ， 研究 的收斂性 . }{ )(kx 引進(jìn)誤差向量 *,)1()1( xx kk ?? ???由 ()減去 ()式， 得 ， ),2,1,0()()1( ???? kB kk ??11 要考察 的收斂性 , 就要研究 在什么條件下有 }{ )(kx B0lim )( ??? kk ?.0lim ( 零矩陣)??? kk B亦即要研究 滿足什么條件時有 B)1()( ?? kk B ??遞推得 .)0(?kB?? ?12 Jacobi迭代法與 GaussSeidel迭代法 設(shè)有 ,bAx ?（ ） 其中， 為非奇異矩陣 . nnijaA ??? R)( 將 分裂為 A,NMA ??（ ） 其中， 為可選擇的非奇異矩陣，且使 容易求解， MdMx ?一般選擇為 的某種近似，稱 為 分裂矩陣 . A M13 于是，求解 轉(zhuǎn)化為求解 ， bAx ? bNxMx ??.11 bMNxMxbAx ?? ???? 求解即求解 可構(gòu)造一階定常迭代
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