迭代法及其收斂性ppt課件(更新版)
【正文】 0x).( 01 xgx ?如此反復(fù)迭代計(jì)算 ).,1,0()(1 ???? kxgx kk （ ） )(xg 稱為 迭代函數(shù) .如果對(duì)任何 ，由（ ）得到 的 迭代序列 有極限 ],[0 bax ?}{ kx.*lim xx kk ???則稱迭代方程 ()收斂，且 為 的不動(dòng)點(diǎn)， 故稱（ ）為 不動(dòng)點(diǎn)迭代法 . *)(* xgx ? )(xg 上述迭代法是一種 逐次逼近法 ，其基本思想是將隱式 方程（ ）歸結(jié)為一組顯式的計(jì)算公式（ ），就是說(shuō)， 迭代過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)逐步顯示化的過(guò)程 . 方程 的求根問(wèn)題在 平面上就是要確定曲 線 與直線 的交點(diǎn) )( xgx ? xy)( xy ?? xy ? .*P 對(duì)于 的某個(gè)近似值 ，在曲線 上可確定 一點(diǎn) ，它以 為橫坐標(biāo)，而縱坐標(biāo)則等于 *x 0x )( xgy ?0P 0x .)( 10 xxg ?過(guò) 引平行 軸的直線，設(shè)此 直線交 直線 于點(diǎn) ， 然后過(guò) 再作平行于 軸的直線，它與曲線 的 交點(diǎn)記作 ，則點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)則等于 0P x xy ? 1Q1Q y )( xy ??1P 1P 1x ?)( 1x?.2x圖 12 例 1 求方程 01)( 3 ???? xxxf （ ） 在 附近的根 ?x .*x 解 設(shè)將方程（ ）改寫成下列形式 .13 ?? xx 按圖 12中箭頭所示的路徑繼續(xù)做下去，在曲線 上得到點(diǎn)列 ，其橫坐標(biāo)分別為依公式 求得的迭代值 )( xgy ??21, PP )(1 kk xgx ??., 21 ?xx據(jù)此建立迭代公式 如果點(diǎn)列 趨向于點(diǎn) ，則相應(yīng)的迭代值 收斂 得到所求的根 }{ kP *P kx.*x27kkxkxk?表).,2,1,0(131 ????? kxx kk各步迭代的結(jié)果見(jiàn)表 . 如果僅取 6位數(shù)字，那么結(jié)果 與 完全相同，這時(shí)可 以認(rèn)為 實(shí)際上已滿足方程 ()，即為所求的根 . 7x 8x7x但若采用方程（ ）的另一種等價(jià)形式 13 ?? xx建立迭代公式 .131 ??? kk xx仍取迭代初值 ，則有 ?x., 21 ?? xx結(jié)果會(huì)越來(lái)越大，不可能趨于某個(gè)極限 . 這種不收斂的迭 代過(guò)程稱作是 發(fā)散 的 . 一個(gè)發(fā)散的迭代過(guò)程，縱使進(jìn)行了 千百次迭代，其結(jié)果也是毫無(wú)價(jià)值的 . x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y= ?(x) y= ?(x) y= ?(x) y=?(x) x0 p0 x1 p1 x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x2 ? 不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性 首先考察 在 上不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性 . ],[ ba)(xg定理 1 設(shè) 滿足以下兩個(gè)條件： ],[)( baCxg ?1176。解 ： 松 弛 法 ： 方 程 改 寫計(jì) 算 2( 1 ) ( 2 ) ( 1 )1 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 2 ) ( 1 )1 1 1 1 1 1032( 2)20()2 10( ) , ( )( ) / 2 ,1,( 3 )( ) 2 ( 2 ) / 10,n n n nn n n n n n nAi t k e nxxxx x x xx x x x x x xxAi t k e nx x x????? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ??? ? ?用 方 法取利 用取用 方 法 ， 取。 壓縮性 存在正常數(shù) ,使對(duì) 都有 10 ?? L ],[, 21 baxx ??.)()( 2121 xxLxgxg ??? （ ） , L其 中 稱 為 ， 或 稱 為 。 映內(nèi)性 對(duì)任意 有 ],[ bax ? bxga ?? )(21
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