迭代法及其收斂性ppt課件-展示頁
2025-05-12 18:36本頁面
【正文】 ，且滿足 ，由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知存在 使 ，即 即為 的不動點(diǎn) . ],[)( baCxf ? ???? )(,0)()( bfaagaf0)( ?? bbg ),(* bax ?0*)( ?xf ** ) ,(* xxgx ? )(xg 再證唯一性 . 設(shè) 都是 的不動點(diǎn)，則由 ()得 ],[, 21 baxx ??? )(x?.)()(21212121???????????????xxxxLxgxgxx引出矛盾 . 故 的不動點(diǎn)只能是唯一的 . 證畢 . )(xg}{ kx定理 .2 設(shè) 滿足定理 1中的兩個條件，則 對任意 ，由（ ）得到的迭代序列 收斂 到 的不動點(diǎn) ，并有 誤差估計(jì) ],[)( baCxg ?],[0 bax ?)(xg *x.1* 01 xxLLxxkk ????（ ） 證明 設(shè) 是 在 上的唯一不動點(diǎn)， 由條件 1176。 也成立 . 所以迭代法是收斂的 . 23)(21 33 ???? xg而當(dāng) 時， 在區(qū)間 中 不滿足定理?xiàng)l件 . 1)( 3 ?? xxg 23)( xxg ?? ]2,1[ 1)( ?? xg 局部收斂性與收斂階 上面給出了迭代序列 在區(qū)間 上的收斂性， 通常稱為全局收斂性 . 定理的條件有時不易檢驗(yàn)，實(shí)際應(yīng) 用時通常只在不動點(diǎn) 的鄰近考察其收斂性，即局部收 斂性 . }{ kx ],[ ba*x 定義 設(shè) 有不動點(diǎn) ，如果存在 的某個鄰域 ，對任意 ，迭代（ ）產(chǎn)生的序列 ，且收斂到 ，則稱迭代法（ ） 局部收斂 . )(x? *x *x??? *: xxR Rx ?0Rxk ?}{ *x定理 設(shè) 為 的不動點(diǎn)， 在 的某個鄰 域連續(xù)，且 ，則迭代法（ ）局部收斂 . *x )(x? )(x?? *x1*)( ?? x? 證明 由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，存在 的某個鄰域 ，使對于任意 成立 *x??? *: xxR Rx?.1)( ??? Lx?此外，對于任意 ，總有 ，這是因?yàn)? Rx? Rx ?)(?.***)()(*)( xxxxLxxxx ??????? ???于是依據(jù)定理 對于任意 初值 均收斂 . )(1 kk xx ???Rx ?0證畢 . 解 這里 ，可改寫為各種不同的等價形 式 ，其不動點(diǎn)為 由此構(gòu)造不同的迭代法： 3)( 2 ?? xxf)(xgx ? .3* ?x.1132)3(*)(,12)( ????????? gxgxxg 例 用不同方法求方程 的根 032 ??x .3* ?x 討論迭代序列的收斂速度 . ,3)(,3)1( 221 ??????? xxxgxxx kkk.1*)(,3)( 2 ?????? xgxxg,3)(,3)2( 1 xxgxxkk ???. 31*)(,211)( ???????? xgxxg.0)3(*)(),31(21)( 2 ??????? ?xgxxg取 ，對上述 4種迭代法，計(jì)算三步所得的結(jié)果如下表 . 20 ?x),3(21)(),3(21)4( 1 xxxgxxxkkk ?????),3(41)(),3(41)3( 221 ??????? xxxgxxx kkk??????732 732 22220)4()3()2()1(373210xxxxxkk迭代法迭代法迭代法迭代法計(jì)算結(jié)果表 ? 注意 ，從計(jì)算結(jié)果看到迭代法（ 1） 及（ 2）均不收斂，且它們均不滿足定理 3中的局部收斂條 件，迭代法（ 3）和（ 4）均滿足局部收斂條件，且迭代法 （ 4）比（ 3）收斂快，因在迭代
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