[所有分類]一致收斂性-展示頁
2025-01-28 13:10本頁面
【正文】 p | ( ) ( ) | . ( 7 )nxDf x f x ????,xD?因為對一切 總有有 | ( ) ( ) | , .nf x f x x D?? ? ?nN 時,?| ( ) ( ) | su p | ( ) ( ) | .nnxDf x f x f x f x?? ? ?返回 后頁 前頁 .f一 致 收 斂 于注 柯西準(zhǔn)則的特點是不需要知道極限函數(shù)是什么 , 只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來判斷函數(shù)列是否一致 收斂 , 而使用余項準(zhǔn)則需要知道極限函數(shù) , 但使用 較為方便 . 如例 2, 由于 ( , )si n 1l i m su p 0 l i m 0,nnxnxnn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??sin( , ) , 0 ( ) .nx nn所以在 上故由 (7) 式得 ? ?( ) ( ) ,nnf x f x f D??? 于 是 在 上返回 后頁 前頁 例 3 定義在 [0,1]上的函數(shù)列 2212 , 0 ,211( ) 2 2 , , 1 , 2, , ( 8 )210, 1 ,nn x xnf x n n x x nnnxn??????? ? ? ? ?????????( 0 ) 0 ,nf由于 ?( 0 )f故 ?? ?l i m ( 0 ) f??0 1 ,x當(dāng)時 ? 1 ,n x只要 就有( ) 0 ,nfx ?( 0 , 1 ]故 在 上 有( ) l i m ( ) x f x????返回 后頁 前頁 1 , 2 , 3n ?其 中 的圖 像如圖 133 所示 . ( 8 ) [ 0 , 1 ]于是 在 上的極限函數(shù) ( ) 0 .fx ?為 又 由 于[ 0 , 1 ]1su p ( ) ( ) ( ) ,2nnx f x f x f n nn???? ? ? ? ? ? ?????所以函數(shù)列 (8) 在 [0,1] 上不一致收斂 . 13 3?圖 ()fx 11f2f3f121316 14213xyO返回 后頁 前頁 例 4 討論函數(shù)例 222{ ( ) e }, [ 0, 1 ]nxnf x n x x???的一致 收斂性 . 解 為了使用余項準(zhǔn)則 , 首先求出函數(shù)列的極限函數(shù) . 易見 222( ) li m ( ) li m e 0, [ 0, 1 ] ,nxnnnf x f x n x x?? ? ? ?? ? ? ?于是 222| ( ) ( 0 ) | e .nxnf x f n x ???222 e nxnx ? [0,1]容易驗證 在 上只有惟一的極大值點 012x n? , 因此為最大值點 . 于是 返回 后頁 前頁 12su p | ( ) ( ) | e2nnf x f x ?? ? ? ? ?根據(jù)余項準(zhǔn)則知該函數(shù)列在 [0,1] 上不一致收斂 . 注 222{ ( ) e }nxnf x n x ?? 不一致收斂是因為函數(shù)列余 的增大一致趨于零 0x ? n項的數(shù)值在 附近不能隨 (見圖 134), 因此對任何不含原點的區(qū)間 [ , 1 ] ( 0aa?222{ ( ) e }nxnf x n x ??在該區(qū)間上一致收斂于零 . 1),?返回 后頁 前頁 圖 13 – 4 返回 后頁 前頁 二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性 { ( ) }nu x E設(shè) 是 定 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個 函 數(shù) 列 , 表 達 式12( ) ( ) ( ) , ( 9 )nu x u x u x x E? ? ? ? ?稱為定義在 E上的函數(shù)項級數(shù) , 1()nnux???簡記為 或( ) .nux 稱?1( ) ( ) , , 1 , 2, ( 10 )nnkkS x u x x E n?? ? ??為函數(shù)項級數(shù) (9)的部分和函數(shù)列 . 返回 后頁 前頁 0 ,xE?若 數(shù)項級數(shù)1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( 1 1 )nu x u x u x? ? ? ?001( ) ( )nnkkS x u x?? ?n ??收斂 , 即部分和 當(dāng) 時極限 0x 0x存在 , 則稱級數(shù) (9)在點 收斂 , 稱為級數(shù) (9)的收 斂點 . 若級數(shù) (11)發(fā)散 , 則稱級數(shù) (9)在點 0x 發(fā)散 . 若 級數(shù) (9)在 E 的某個子集 D 上每點都收斂 , 則稱級數(shù) (9)在 D 上收斂 . 若 D 為級數(shù) (9)全體收斂點的集合 , 這時就稱 D為級數(shù) (9)的收斂域 . 級數(shù) (9)在 D上每一 返回 后頁 前頁 點 x 與其所對應(yīng)的數(shù)項級數(shù) (11)的和 ()Sx構(gòu)成一個 定義在 D 上的函數(shù) , 稱為級數(shù) (9)的和函數(shù) , 并記作 12( ) ( ) ( ) ( ) , ,nu x u x u x S x x D? ? ? ? ? ?即 l i m ( ) ( ) , .nn S x S x x D?? ??也就是說 , 函數(shù)項級數(shù) (9)的收斂性就是指它的部分 和函數(shù)列 (10)的收斂性 . 返回 后頁 前頁 例 5 ( , )? ? ? ?定義在 上的函數(shù)項級數(shù)( 幾何級數(shù))21 , ( 1 2 )nx x x? ? ? ? ?1( ) . | | 11nnxS x xx????的部分和函數(shù)為 當(dāng) 時,1( ) lim ( ) .1nnS x S x x???? ?1( 1 2 ) ( 1 , 1 ) ( ) 。返回 后
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