迭代法及其收斂性ppt課件-在線瀏覽
2025-06-20 18:36本頁面
【正文】 法（ 4）中 . ?7 3 2 0 5 0 ?0*)( ?? xg 定義 設(shè)迭代過程 收斂于方程 的根 ，如果迭代誤差 當(dāng) 時成立下列 漸近關(guān)系式 )(1 kk xgx ?? )(xgx ?*x *xxe kk ?? ??k),1,0(1 ???? pCCee pkk 常數(shù)則稱該迭代過程是 階收斂 的 ,C為 漸進(jìn)誤差常數(shù) .特別地 , 時稱 線性收斂 ， 時稱 超線性收斂 ， 時稱 平方收斂 . p1?p 1?p2?p111: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), l im l im ( ) ( ).k k k k k k kkkkkkkke x x g x g x g x x g exxeg g xe????? ? ??????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????由 微 分 中 值 定 理 可 得其 中 在 與 之 間 再 由 局 部 收 斂 可 知故 迭 代 格 式 是 線 性 收 斂 的證 明 ( ), ( ) 0 ( ( ) 0 ( ) 1 ) ,.gxg x g x g x? ? ?? ? ?? ? ?若 迭 代 函 數(shù) 除 了 滿 足 上 述 定 理 的 條 件之 外 還 滿 足 即 滿 足 則 迭 代 格式 是 線 性 收 斂 的推 論 ()( 1 ) ( )()1 ( ) , 1 , ( ),( * ) ( * ) ( * ) 0 , ( * ) 0 , ( 2 .8 )() l im!ppppkkkx g x p g x xxpg x g x g x g xe gxep?????????? ??? ? ? ? ??設(shè) 是 迭 代 函 數(shù) 的 不 動 點(diǎn) 整 數(shù) 在的 鄰 域 上 連 續(xù) 則 迭 代 格 式 在 的 鄰 域 上 是 階 收 斂 的 充 分 必要 條 件 為且 有定 理 證明 先證充分性 由于 ，據(jù)定理 即 可以斷定迭代過程 具有局部收斂性 . 0*)( ?? xg)(1 kk xgx ?? 再將 在根 處做泰勒展開，利用條件（ ）， 則有 )( kxg *x.*,*)(! )(*)()( )( 之間與在 xxxxpgxgxg kkpkkpk ?? ???注意到 ，由上式得 **)(,)( 1 xxgxxg kk ?? ?,*)(! )(* )(1 pkkpk xxpgxx ???? ?因此對迭代誤差，當(dāng) 時有 ??k.! *)()(1pxgee ppkk ?? （ ） 這表明迭代過程 確實(shí)為 階收斂 . 證畢 . )(1 kk xgx ?? p000( 1 ) ( )0 , ( 2 . 8 ),( * ) ( * ) ( * ) 0 , ( * ) 0 ,. ( 2 . 8 ) . .ppxpppg x g x g x g xp??? ??? ? ? ? ?設(shè) 迭 代 格 式 在 的 鄰 域 上 是 階 收 斂 的 若 不成 立 則 必 存 在 不 等 于 最 小 正 整 數(shù) 使 得又 由 充 分 性 證 明 過 程 可 知 上 述 迭 代 格 式 的 收 斂 階 為矛 盾 故 成 立 證 畢再 證 必 要 性 上述定理說明，迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù) 的選取 . 如果當(dāng) 時 ，則該迭代過 程只可能是線性收斂 . )(xg ],[ bax ? 0)( ?? xg 在例 ，迭代法（ 3）的 ，故它只是線性 收斂，而迭代法（ 4）的 ，而 由定理 4知 ，即該迭代過程為 2階 收斂 . 0*)( ?? xg0*)( ?? xg ,6)( 3xxg ???.032*)( ???? xg 2?p333124( ) 2 5 0 ,1( ) 2 5 ( ) ( 5 ) ,2,
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