62一元方程的不動點迭代法-在線瀏覽
2024-12-15 16:31本頁面
【正文】 ]。使對任意存在正數(shù) ],[,1)2( bayxL ??。的收斂性法的選取。上存在唯一的不動點在閉區(qū)間函數(shù) *],[)()1( xbax?）生成的序列由迭代法（對于任何初值 ],[)2( 0 bax ?? ? 。1* 1 ????? kkk xxLLxx（ ） 證 )(,0)(],[)()()( babaxxxx ????? ???? 知，則由令則有上有兩個相異的不動點在。因為,],[)(],[)(],[)(0*2*1*xxbaxxbaxbax????第六章非線性方程組的迭代解法 進而顯然有 , . . . ,1,0],[ ?? kbax k。既從而 ** lim,0lim xxx kkk ??? ????顯然有 ，111 )()( ??? ????? kkkkkk xxLxxxx ??上只有一個不動點。kkp xxLL ????? ?? 11 )1( ?,1)1(10 101 ???? ???????? ? pkk LLLLL ?，從而因為。由收斂性既得令 ),(,???p第六章非線性方程組的迭代解法 中的）內(nèi)可導(dǎo)，那么定理在區(qū)間（如果函數(shù) ,)( bax?）可用更強的條件條件（ 2),(,1)(39。事實上，若上式都有],[, bayx ?),())((39。之間，從而條件（與在其中 ?第六章非線性方程組的迭代解法 由估計式（ ）可知，只要相鄰兩次計算結(jié)果的偏差 足夠小，且 不很接近 1，既可保證近似值 具有足夠的精度。并 且，由（ ）有 1?? kk xx1?? kk xxkxL。的精度確定出需要迭代），我們可對給定的值，則由（如果能恰當(dāng)計算出 )(,)( * xyxyxx ?? ?? 與曲線在幾何上是直線的不動點函數(shù)是發(fā)散的情形。因此)(,ba?第六章非線性方程組的迭代解法 們的收斂性。其導(dǎo)數(shù)對于迭代函數(shù) 32131 )1(31)(39。)(39。上的唯一不動點，都收斂到區(qū)間給出的迭代法由因此，對于任何初值*10]21[)(],2,1[xxx ??。,1)( xxxx ??? ??該迭代法發(fā)散。不滿足定理，有對,1)(39。這要針對具體情況進行討論 。)(39。))(3(21 xxx ???因此，令 ))(3(21)( xxx ?? ??則有 ,21)(39。),1,0( ??k第六章非線性方程組的迭代解法 局部收斂性和加速收斂法 上的收討論的是迭代法在區(qū)間由于定理 ],[16. ba，給出如下定義。為此附根檢驗。但一般斂性也包括在無窮區(qū)間局收為全局收斂性定理。）是局部，則稱迭代法（且收斂到）生成的序列滿足），有迭代法（，（使得對任何初值),(,0],[),(***0***xxsxxsxxxxsk????????????第六章非線性方程組的迭代解法 定理 的某個鄰域在的一個不動點，是設(shè) ** )(39。則迭代法（上連續(xù)，并且有 ,1)(39。)(39。],[ *** ???? Lxxxx ???,)()()( ** ???? ?????? xxLxxxx? ?收斂。）迭代法（，對任意根據(jù)定理。當(dāng)?shù)諗繒r，收斂的快慢用下述收斂階段來衡量。若存記誤差收斂到設(shè)序列 ** , xxexx kkk ??定義 ，使得和在實數(shù) 01 ?? cpcee pkkk ????1lim （ ） ? ?方收斂。斂。）中的常數(shù)滿足（是線性收斂的，越大，收斂越快。0)(39。 *** ??? xxx ???第六章非線性方程組的迭代解法 對 ，必有 ,k=1,2,… ，而且 *0 xx ? *xxk ?kkkkk exxxxe )()()( 39。于是 k? *x。39。可見，提高收斂階的一個途徑是選擇迭代函數(shù) ，使它足 。 )(x? 0)( *39。39。 ????? ? xxxx
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