[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第六章解線性方程組的迭代法-在線瀏覽
2025-03-08 16:41本頁面
【正文】 ， Tx )9 9 9 9 9 3 9 9 9 9 8 0 0 0 0 ()7( ???????????????.361236,33114,20238321321321xxxxxxxxx （ ） 用高斯 塞德爾迭代法解線性方程組 (). Tx )0,0,0()0( ?取 ， ,11/)334( )(3)1(1)1(2 ???? ?? kkk xxx),1,0(.12/)3636( )1(2)1(1)1(3 ?????? ??? kxxx kkk24 由此例可知，用高斯 塞德爾迭代法，雅可比迭代法解 線性方程組 ()(且取 )均收斂 . 0)0( ?x 而高斯 塞德爾迭代法比雅可比迭代法收斂較快 (即取 相同，達(dá)到同樣精度所需迭代次數(shù)較少 ). )0(x 但這結(jié)論只當(dāng) 滿足一定條件時(shí)才是對(duì)的 . A.* 6)7( ?? ??? xx且 25 解大型稀疏線性方程組的逐次超松弛迭代法 選取分裂矩陣 為帶參數(shù)的下三角陣 M),(1 LDM ?? ??其中 為可選擇的松弛因子 . 0?? 于是，由 ()可構(gòu)造一個(gè)迭代法，其迭代矩陣為 ALDIL 1)( ???? ???從而得到解 的逐次超松弛迭代法 (Successive Over Relaxation Method, 簡稱 SOR ). bAx ?).)1(()( 1 UDLD ??? ???? ? 逐次超松弛迭代法 26 解 的 SOR方法為 bAx ???????? ,2,1,0,)()1()0(?kfxLxxkk?（初始向量）， （ ） 其中 ),)1(()( 1 UDLDL ???? ???? ?.)( 1 bLDf ??? ?? 研究解 的 SOR迭代法的分量計(jì)算公式 . bAx ?,),( )()()(1)( Tknkikk xxxx ???記 27 ,))1(()( )()1( bxUDxLD kk ???? ????? ?或 ).( )()()1()()1( kkkkk DxUxLxbDxDx ????? ?? ?由 ()式可得 由此，得到解 的 SOR方法的計(jì)算公式 bAx ???????? ? ,),( )0()0(1)0( Tnxxx ?,/1)(11)1()()1(iinijkjijijkjijikiki axaxabxx ???????? ???? ???????? ?（ ） 為松弛因子.?),1,0。,1( ?? ?? kni 關(guān)于 SOR迭代法 ， 有 (1) 顯然，當(dāng) 時(shí)， SOR方法即為高斯 塞德爾迭 代法 . 1??29 (2) SOR方法每迭代一次主要運(yùn)算量是計(jì)算一次矩陣與向量的乘法 . (3) 當(dāng) 時(shí)，稱為超松弛法；當(dāng) 時(shí)，稱為低 松弛法 . 1?? 1?? (4) 在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)可用 ????? ????? )()1(11 m a xm a x kikiniini xxx控制迭代終止，或用 控制迭代 終止 . ???? ?? )()( kk Axbr SOR迭代法是高斯 塞德爾迭代法的一種修正 . 30 設(shè)已知 及已計(jì)算 的分量 )(kx )1( ?kx ).1,2,1()1( ??? ijx kj ? (1) 首先用高斯 塞德爾迭代法定義輔助量 ,~ )1( ?kix./~1)(11)1()1(iinijkjijijkjijiki axaxabx ???????? ??? ????????（ ） (2) 再由 與 加權(quán)平均定義 ， )(kix )1(~ ?kix )1( ?kix)1()()1( ~)1( ?? ??? kikiki xxx ??將 ()代入 ()得到解 的 SOR迭代 ()式 . bAx ?即 （ ） ).~( )()1()( kikiki xxx ??? ??31 例 3 ,111141111411114111144321???????????????????????????????????????????????xxxx它的精確解為 .)1,1,1,1(* Tx ?????取 0)0( ?x??????? ??????? 。4/)41( )(4)(3)(2)1(1)(2)1(2 kkkkkk xxxxxx ?????? ?? ?。‖ 為矩陣的任意一種算子范數(shù) . 顯然有 （證明略） 39 定理 3 設(shè) , nnijbB ??? R)(則 (零矩陣 )的 0lim ??? kk B充分必要條件是矩陣 的譜半徑 B .1)( ?B? 證明 由矩陣 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，存在非奇異矩陣 使 B P,211 JJJJBPPr??????????????????其中若當(dāng)塊 ,11ii nniiiiJ?????????????????????40 且 ， nn
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1