極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性(編輯修改稿)
2024-11-15 05:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (x)在x=x0處連續(xù)的充要條件是在x=x0處左右連續(xù)。④ 計(jì)算函數(shù)極限的方法，若在x=x0處連續(xù)，則⑤ 若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]上有最大值，最小值。二、典型例題例1．求下列極限①②③④解析：①。②。③。④。例2．已知，求m,n。解：由可知x2+mx+2含有x+2這個(gè)因式，∴ x=2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=1。例3．討論函數(shù)的連續(xù)性。解析：函數(shù)的定義域?yàn)?∞,+∞)，由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在非分界點(diǎn)處函數(shù)是連續(xù)的，又∴由從而f(x)在點(diǎn)x=1處不連續(xù)?！?f(x)在(∞,1),(1,+∞)上連續(xù)，x=1為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。，∴ f(x)在x=1處連續(xù)。，例4．已知函數(shù)試討論a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)。,(a,b為常數(shù))。解析：∵且，∴，∴ a=1, b=0。例5．求下列函數(shù)極限①②解析：①。②。例6．設(shè)解析：∵要使存在，只需，問(wèn)常數(shù)k為何值時(shí)，有存在？。，∴ 2k=1，故 時(shí)，存在。例7．求函數(shù)在x=1處左右極限，并說(shuō)明在x=1處是否有極限？解析：由∵，∴ f(x)在x=1處極限不存在。，三、訓(xùn)練題：1．已知，則2．的值是_______。，則=______。4．已知5．已知，2a+b=0，求a與b的值。，求a的值。參考答案：=2, b==0第四篇：第十三章多元函數(shù)的極限和連續(xù)性《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案第十三章 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性167。平面點(diǎn)集一 鄰域、點(diǎn)列的極限定義1 在平面上固定一點(diǎn)M0(x0,y0)，凡是與M0的距離小于e的那些點(diǎn)M組成的平面點(diǎn)集，叫做M0的e鄰域，記為O(M0,e)。定義2 設(shè)Mn=(xn,yn)，M0=(x0,y0)。如果對(duì)M0的任何一個(gè)e鄰域O(M0,e)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有Mn206。O(M0,e)。就稱(chēng)點(diǎn)列{Mn}收斂，并且收斂于M0，記為limMn174。165。n=M0或(xn,yn)174。(x0,y0)(n174。165。)。性質(zhì)：（1）(xn,yn)174。(x0,y0)219。xn174。x0,yn174。y0。（2）若{Mn}收斂，則它只有一個(gè)極限，即極限是唯一的。二 開(kāi)集、閉集、區(qū)域設(shè)E是一個(gè)平面點(diǎn)集。1． 內(nèi)點(diǎn)：設(shè)M0206。E，如果存在M0的一個(gè)d鄰域O(M0,d)，使得O(M0,d)204。E，就稱(chēng)M0是E的內(nèi)點(diǎn)。2． 外點(diǎn)：設(shè)M1207。E，如果存在M1的一個(gè)h鄰域O(M1,h)，使得O(M1,h)199。E=F，就稱(chēng)M1是E的外點(diǎn)。3． 邊界點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對(duì)M*的任何e鄰域O(M*,e)，其中既有E的點(diǎn)，又有非E中的點(diǎn)，就稱(chēng)M*是E的邊界點(diǎn)。E的邊界點(diǎn)全體叫做E的邊界。4． 開(kāi)集：如果E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，就稱(chēng)E是開(kāi)集。5． 聚點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對(duì)M*的任何e鄰域O(M*,e)，至少含有E中一個(gè)（不等于M*的）點(diǎn)，就稱(chēng)M*是E的聚點(diǎn)。性質(zhì)：設(shè)M0是E的聚點(diǎn)，則在E中存在一個(gè)點(diǎn)列{Mn}以M0為極限。6． 閉集：設(shè)E的所有聚點(diǎn)都在E內(nèi)，就稱(chēng)E是閉集。7． 區(qū)域：設(shè)E是一個(gè)開(kāi)集，并且E中任何兩點(diǎn)M1和M2之間都可以用有限條直線(xiàn)段所組成的折線(xiàn)連接起來(lái)，而這條折線(xiàn)全部含在E中，就稱(chēng)E是區(qū)域。一個(gè)區(qū)域加上它的邊界就是一個(gè)閉區(qū)域。三平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理1．矩形套定理：設(shè){an163。x163。bn,163。y163。dn}是矩形序列，其中每一個(gè)矩形都含在前一個(gè)矩形中，并且131《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案bnan174。0，dn174。0，那么存在唯一的點(diǎn)屬于所有的矩形。：如果序列{Mn(xn,yn)}有界，那么從其中必能選取收斂的子列。：若一開(kāi)矩形集合{D}={axb,gyd}覆蓋一有界閉區(qū)域。那么從{D}里，必可選出有限個(gè)開(kāi)矩形，他們也能覆蓋這個(gè)區(qū)域。N4．收斂原理：平面點(diǎn)列{Mn}有極限的充分必要條件是：對(duì)任何給定的e0，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n,m時(shí)，有r(Mn,Mm)e。167。2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)一 多元函數(shù)的概念不論在數(shù)學(xué)的理論問(wèn)題中還是在實(shí)際問(wèn)題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決
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