二元函數(shù)的極限與連續(xù)(編輯修改稿)
2024-11-07 05:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 p=RT,V其中R為常數(shù). 這里, 當(dāng)V、T在集合{(V ,T)| V0, T0}內(nèi)取定一對(duì)值(V, T)時(shí), p的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.例3 設(shè)R 是電阻RR2并聯(lián)后的總電阻, 由電學(xué)知道, 它們之間具有關(guān)系 R=R1R2R1+R2. 這里, 當(dāng)RR2在集合{(R1, R2)| R10, R20}內(nèi)取定一對(duì)值(R1 , R2)時(shí), R的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.定義1：設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集, 稱(chēng)映射f:D174。R為定義在D上的二元函數(shù), 通常記為： z=f(x,y),(x,y)206。D(或z=f(P),P206。D)其中點(diǎn)集D稱(chēng)為該函數(shù)的定義域, x, y稱(chēng)為自變量, z稱(chēng)為因變量.上述定義中, 與自變量x、y的一對(duì)值(x, y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值, 也稱(chēng)為f在點(diǎn)(x, y)處的函數(shù)值, 記作f(x,y), 即z=f(x,y).值域: f(D)={z| z=f(x, y),(x, y)206。D}.函數(shù)的其它符號(hào): z=z(x,y), z=g(x,y)=f(x, y, z),(x, y, z)206。D以及三元以上的函數(shù).一般地, 把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間Rn內(nèi)的點(diǎn)集D, 映射f : D174。R就稱(chēng)為定義在D上的n元函數(shù), 通常記為：u=f(x1, x2, , xn),(x1, x2, , xn)206。D,或簡(jiǎn)記為：u=f(x), x=(x1, x2, , xn)206。D, 也可記為：u=f(P), P(x1, x2, , xn)206。D .關(guān)于函數(shù)定義域的約定: 在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)u=f(x)時(shí), 就以使這個(gè)算式有意義的變?cè)獂的值所組成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域. 因而, 對(duì)這類(lèi)函數(shù), 它的定義域不再特別標(biāo)出. 例如,函數(shù)z=ln(x+y)的定義域?yàn)閧(x, y)|x+y0}(無(wú)界開(kāi)區(qū)域)。函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域?yàn)閧(x, y)|x2+y2163。1}(有界閉區(qū)域).二元函數(shù)的圖形: 點(diǎn)集{(x, y, z)|z=f(x, y),(x, y)206。D}稱(chēng)為二元函數(shù)z=f(x, y)的圖形, 二元函數(shù)的圖形是一張曲面.例如 z=ax+by+c是一張平面, 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面.6．1．3 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限概念類(lèi)似, 如果在P(x,y)174。P0(x0,y0)的過(guò)程中, 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x,y)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A, 則稱(chēng)A是函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)174。(x0,y0)時(shí)的極限.定義2：設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)，對(duì)于任意給定的正數(shù)e0總存在正數(shù)d, 使得當(dāng)P(x,y)206。D199。U(P0,d)時(shí), 都有 f(P)A=f(x,y)Aeo成立, 則稱(chēng)常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)174。(x0,y0)時(shí)的極限, 記為 也記作(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=A, 或f(x,y)174。A((x,y)174。(x0,y0)), limf(P)=A或f(P)174。A(P174。P0)P174。P0 上述定義的極限也稱(chēng)為二重極限. (x,y)=(x2+y2)sin證：因?yàn)閨f(x,y)0|=|(x+y)sin221x2+y2, 求證(x,y)174。(0,0)limf(x,y)=0.1x+y220| =|x+y||sin221x+y22| 163。x+y22,可見(jiàn)對(duì)e0, 取d=e, 則當(dāng)0(x0)+(y0)d，即P(x,y)206。D199。U(O,d)時(shí)，總有f(x,y)e，22o因此lim(x,y)174。(0,0)f(x,y)=0。必須注意:(1)二重極限存在, 是指P以任何方式趨于P0時(shí), 函數(shù)都無(wú)限接近于A(yíng).(2)如果當(dāng)P以?xún)煞N不同方式趨于P0時(shí), 函數(shù)趨于不同的值, ：236。xy22 x+y185。0239。2（i）函數(shù)f(x,y)=237。x+y2在點(diǎn)(0, 0)有無(wú)極限？22239。238。0 x+y=0提示：當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿x軸趨于點(diǎn)(0, 0)時(shí), lim(x,y)174。(0,0)f(x,y)=limf(x, 0)=lim0=0。x174。0x174。0當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿y軸趨于點(diǎn)(0, 0)時(shí), lim(x,y)174。(0,0)f(x,y)=limf(0, y)=lim0=0.y174。0y174。0當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線(xiàn)y=kx有(x,y)174。(0,0)y=kxlimxyx+y22=limkx2222x174。0x+kx=k1+k2.因此, 函數(shù)f(x,y)在(0, 0)處無(wú)極限.（ii）xy+11x+y(x,y)174。(0,0)lim提示：f(x,y)=xy+11x+y在(0,0)點(diǎn)的去心領(lǐng)域內(nèi)并不總是有意義（x+y185。0），這有悖于二重極限的定義，所以極限不存在。亦可：當(dāng)取路徑y(tǒng)=kx2x(k185。0)時(shí)，由于極限1(x,y)174。(0,0)limxy+11x+y=limkxx+11kx232x174。0=lim2x174。0(kxx)kx232=12k與k值有關(guān)[(1+t)a1）～at（t174。0）]，所以極限不存在。多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則: 與一元函數(shù)的情況類(lèi)似. 例5：求lim(x,y)174。(0,2)sin(xy)x.解:sin(xy)sin(xy)sin(xy)=limy=limlimyxxy(x,y)174。(0,2)(x,y)174。(0,2)xy(x,y)174。(0,2)(x,y)174。(0,2)lim=1180。2=2.注（3）：求二元函數(shù)的極限一般是通過(guò)換元或代數(shù)式變形等方法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問(wèn)題即多元問(wèn)題‘一元化’。需要強(qiáng)調(diào)的是一元函數(shù)極限的L’Hospital法則不能用于二元函數(shù)求極限。例6：求下列極限1（1）(x,y)174。(0,0)lim(1+sinxy)4xy；（2）(x,y)174。(0,0)lim(x+y)sin1xcos1y；（3）(x,y)174。(0,0)limsin(x+y)x+y224；（4）lim(x174。+165。y174。+165。1xyx+y22)x2sinxy1解：（1）(x,y)174。(0,0)lim(1+sinxy)xy=1y(x,y)174。(0,0)lim[(1+sinxy)sinxy]xy=e；（2）(x,y)174。(0,0)lim(x+y)sin1xcos=0；（無(wú)窮小乘有界函數(shù)仍為無(wú)窮?。?）設(shè)x=rcosq,y=rsinq，則limsin(x+y)x+y2244(x,y)174。(0,0)=limsin(rcosq+rsinq)r24444=limr2(sin4q+cos4q)=0；r174。0r174。0（4）由于：163。0(xyx+y22)x2230。122246。231。(x+y)247。247。163。231。222231。x+y247。231。247。232。248。x2=()21x2，lim()x174。+165。1x22=0，由夾逼法則可知原極限等于零。6．1．4 二元函數(shù)的連續(xù)性定義3：設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈,P0(x0,y0)為D的聚點(diǎn), lim(x,y)174。(x
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