函數(shù)極限及連續(xù)(編輯修改稿)
2025-06-12 03:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 /千克；批發(fā)量超過千克的部分為元/千克．設(shè)批發(fā)量為千克，總費用為元，試建立與的函數(shù)關(guān)系.例8 一物體作直線運動，已知所受阻力的大小與其運動速度成正比，方向相反．設(shè)物體的速度為米/秒時，所受阻力為牛頓，試建立與的函數(shù)關(guān)系.例9 公共電話收費問題.在公共電話亭打市內(nèi)電話，每收費元，不足按收費，求電話收費與用時的函數(shù)關(guān)系. 函數(shù)的極限 數(shù)列的極限數(shù)列（整標(biāo)函數(shù)）可以看作是按自然數(shù)順序列出的一串函數(shù)值：.現(xiàn)在來考察當(dāng)自變量無限增大時，：(1) ，即，，…，…；(2) ，即，，…，…；(3) ，即，，…，…；(4) ，即，，…，….通過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，這幾個數(shù)列的變化情況是大不相同的．?dāng)?shù)列(1)隨著的無限增大，無限接近常數(shù)；數(shù)列(2)隨著的無限增大，無限接近常數(shù)；數(shù)列(3)、(4)隨著的無限增大，都不能無限接近于某一個確定的常數(shù)，當(dāng)時，數(shù)列的值也無限增大，數(shù)列的值在與兩個數(shù)上來回跳動.為清楚起見，我們把表示(1)、(2)這兩個數(shù)列的點分別在數(shù)軸上描出一些(圖1－18,1－19).圖1－18圖1－19可以看出，當(dāng)無限增大時，數(shù)列在數(shù)軸上的對應(yīng)點逐漸密集在右側(cè)，即數(shù)列無限趨近于；數(shù)列在數(shù)軸上的對應(yīng)點逐漸密集在附近，即數(shù)列無限趨近于．總之，當(dāng)無限增大時，數(shù)列(1)、(2)都趨近于一個常數(shù)，這種數(shù)列稱其為有極限；當(dāng)無限增大時，數(shù)列(3)、(4)都不趨近于一個常數(shù)，這種數(shù)列稱為無極限．一般地，有下面定義． 設(shè)數(shù)列｛｝，如果當(dāng)無限增大時，無限趨近于一個確定的常數(shù)，則稱當(dāng)趨于無窮大時，數(shù)列｛｝以為極限，記作或．此時，也稱數(shù)列｛｝是收斂的；如果數(shù)列｛｝沒有極限，就稱其為發(fā)散的．因此，當(dāng)時，的極限是，可記作；的極限是，可記作；而數(shù)列和沒有極限，沒有極限的數(shù)列，也說數(shù)列的極限不存在．例1 觀察下面數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限：（1）； （2）；（3）； （4）.一般地，任何一個常數(shù)數(shù)列的極限就是這個常數(shù)本身，即（為常數(shù)）.例2（無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式）設(shè)數(shù)列．其中首項，公比，求其所有項的和． 函數(shù)的極限1．當(dāng)時,函數(shù)的極限例3 考察當(dāng)時,函數(shù)的變化趨勢． 如果當(dāng)?shù)慕^對值無限增大（即）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當(dāng)時的極限，記作（或當(dāng)時，）.有時，類似地有下面的定義. 如果當(dāng)時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作（或當(dāng)時，）. 如果當(dāng)時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作（或當(dāng)時，）.于是，由圖1－20可以看出.可以證明：若，則．反之也成立.例4 求和.2．時函數(shù)的極限為了研究方便，下面介紹鄰域的概念．設(shè)是任一正數(shù)，開區(qū)間叫做點的鄰域，記作，其中叫做鄰域中心，叫做鄰域半徑．去掉鄰域中心的鄰域叫做去心鄰域．下面研究當(dāng)時，函數(shù)的極限．表示無限趨近于定值（），它包含兩種情況：(1) 從大于的一側(cè)趨近于，記作；(2) 從小于的一側(cè)趨近于，記作.例5 考察當(dāng)時，函數(shù)的變化趨勢. 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義(可以除外)，如果當(dāng)無限趨近于定點（可以不等于）時，函數(shù)值無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當(dāng)時的極限．記作（或當(dāng)時，)．需要注意：函數(shù)在點的極限狀況與函數(shù)在該點是否有定義及如何定義無關(guān).例6 討論極限和.解 因為函數(shù)是常量函數(shù)，函數(shù)值恒等于常數(shù)C，所以.因為函數(shù)的函數(shù)值與自變量相等，所以當(dāng)時函數(shù)值也趨于，因此.例7 考察極限.3．時函數(shù)的左極限與右極限 如果當(dāng)時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當(dāng)時的左極限，記作（或當(dāng)時，）.如果當(dāng)時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當(dāng)時的右極限，記作（或當(dāng)時，）.一般地，當(dāng)時，函數(shù)在點處的極限與左極限、右極限的關(guān)系為＝.也就是說，如果函數(shù)在點處的左、右極限都存在且相等，那么函數(shù)在點處的極限存在，且與左、右極限相等；反之，如果那么函數(shù)在點處的極限存在，那么函數(shù)在點處的左、右極限都存在，且與函數(shù)的極限相等.例8
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