函數(shù)極限及連續(xù)-資料下載頁
2025-05-16 03:41本頁面
【正文】 的增量設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量從(稱為初值)變化到(稱為終值)時，終值與初值之差稱為自變量的增量(或改變量)，記為.相應地，函數(shù)的終值與初值之差稱為函數(shù)的增量，記為.容易理解，增量可以是正值，可以是負值，也可以是零.例1 設(shè)，求適合下列條件的自變的增量和函數(shù)的增量：（1）從變到時；（2）從變到時；（3）從變到時.2．函數(shù)在點的連續(xù)性函數(shù)在點連續(xù)，反映到圖形上即為曲線在的左右近旁是連綿不斷的，如（圖1－26）所示，給自變量一個增量，對應就有函數(shù)的增量，且當趨于時，的絕對值將無限變?。畧D1－26 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果在點自變量的增量趨于時，相應函數(shù)的增量也趨于，即，那么，稱函數(shù)在點連續(xù)．例2 利用定義證明函數(shù)在點處連續(xù)．令，則當時，同時時，．于是，函數(shù)在點處連續(xù)可描述成下面的定義. 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果當時，函數(shù)的極限存在，且等于在點的函數(shù)值，即，那么，稱函數(shù)在點處連續(xù).由定義可以看出，函數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足如下條件：(1) 函數(shù)在點處必須有定義；(2) 函數(shù)在點處必須有極限；(3) 函數(shù)在點處的極限值必須等于它在點處的函數(shù)值，即.，同時還能保證在點有定義，僅當存在時，在點處不一定連續(xù)，甚至在處可能沒有定義，所以，函數(shù)在時有極限，是在點處連續(xù)和必要條件.如果，則稱函數(shù)在點處左連續(xù).如果，則稱函數(shù)在點處右連續(xù).函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是在點處既左連續(xù)又右連續(xù).3．函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任一點都連續(xù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)．此時，函數(shù)叫做區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間叫做的連續(xù)區(qū)間.如果函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間的左端點處右連續(xù)，即，在區(qū)間的右端點左連續(xù)，即，那么稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù). 函數(shù)的間斷點如果函數(shù)在點處不連續(xù)，那么稱函數(shù)在點處間斷，點稱為函數(shù)的間斷點．由函數(shù)連續(xù)的定義可知，函數(shù)在點間斷有下列幾種情況：(1) 函數(shù)在點處沒有定義；(2) 不存在；(3) 雖然存在，但.即在點處出現(xiàn)上述一種或幾種情況時，點是函數(shù)的間斷點．例3 判斷函數(shù)在點處連續(xù)性.例4 判斷函數(shù)在點處的連續(xù)性．例5 判斷函數(shù)在點處的連續(xù)性. 初等函數(shù)的連續(xù)性1．基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.例如指數(shù)函數(shù)且在定義域內(nèi)是連續(xù)的．對數(shù)函數(shù)且在定義域內(nèi)是連續(xù)的.2．連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性可以證明，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算仍然是連續(xù)函數(shù)，即若函數(shù)、在點處連續(xù)，則、（）在點處都是連續(xù)的.3．復合函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)在點處連續(xù)，而函數(shù)在對應點處連續(xù)，那么復合函數(shù)在點處也是連續(xù)的．即.上式說明，求復合函數(shù)的極限時，函數(shù)記號與極限記號可以交換運算次序，也可以直接代入求值．例6 求極限.例7 求極限.4．初等函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)以上所述，可以得出：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對于初等函數(shù)，當是其定義域內(nèi)的點時，就有，即求連續(xù)函數(shù)的極限時只需把直接代入函數(shù)式求出函數(shù)值即可.例8 求極限.例9 求極限.例10 求極限. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1．最大值和最小值性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，一定取得最大值和最小值．如圖1－27所示，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么至少存在一點，使得函數(shù)在點處取得最大值．即對于任意的，都有；又至少存在一點，使得函數(shù)在點處取得最小值．即對于任意的，都有.圖1－272．介值性質(zhì)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，和分別是函數(shù)在上的最大值和最小值，那么對于任意介于和之間的常數(shù)，至少存在一點，使得.特別地，如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且函數(shù)在兩端點的函數(shù)值與異號，那么至少存在一點，使得.由圖1－28可以看出，曲線連續(xù)地從負值變到正值，必定要與軸相交(至少相交一次)，交點的橫坐標、處的就是性質(zhì)中的．圖1－28例11 證明方程在內(nèi)至少有一個根. 專業(yè)整理分享
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