一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀(編輯修改稿)
2024-11-07 00:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 rsinq).: ⑴ 變量對稱函數(shù): f(x,y)=f(y,x),例8中的函數(shù)變量對稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)=f(x)y(y).例如z=xye2x+3y, z=xy+2x+y+2, f(x,y)=(xy+y)(xyx)等.(xy)2 4 但函數(shù)z=x+y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù)四．n元函數(shù)二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n作業(yè) P9—8.167。 2 二元函數(shù)的極限二重極限亦稱為全面極限定義1 設(shè)f為定義在D204。R上的二元函數(shù)，P0為D的一個聚點(diǎn)，A是確定數(shù) 若 e0,$d0,或2P206。U0(P0,d)199。D,f(P)Ae則limf(P)=AP174。P0(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=A例1 用“ed”定義驗(yàn)證極限(x,y)174。(2,1)lim(x2+xy+y2)== 用“ed”定義驗(yàn)證極限 lim2x174。0x+y2y174。0例3 236。x2y2,(x,y)185。(0,0),239。xyf(x,y)=237。x2+y2239。0 ,(x,y)=(0,0).238。f(x,y)=0.(用極坐標(biāo)變換)P94 (x,y)174。(0,0)：定理 1limf(P)=A, 219。對D的每一個子集E , 只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn) , P174。P0P206。D就有l(wèi)imf(P)=174。P0P206。E推論1設(shè)E1204。D, (P)不存在 , 則極限limf(P)174。P0P206。E1P174。P0P206。D推論2設(shè)E1,E2204。D, (P)=A1，P174。P0P206。E1P174。P0P206。E2limf(P)=A2, 但A1185。A2, 則極限limf(P)174。P0P206。DP174。P0P206。D推論3極限limf(P)存在, 219。 對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn174。P0但Pn185。P0, 數(shù)列{f(Pn)}(P)不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限P174。P0不相等, , 沿任何方向的極限存在且相等 222。/ 全面極限存在例4 236。xy ,(x,y)185。(0,0),239。 證明極限limf(x,y)(x,y)=237。x2+y2(x,y)174。(0,0)239。0 ,(x,y)=(0,0).238。6 求下列極限: ⅰ(x,y)174。(0,0)limsinxyx2ylim。ⅱ。(x,y)174。(3,0)yx2+y2 ⅲ3．極限(x,y)174。(0,0)limxy+11ln(1+x2+y2)。ⅳ (x,y)174。(0,0)xyx+y(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=+165。的定義:2定義2．設(shè)f為定義在D204。R上的二元函數(shù)，P0為D的一個聚點(diǎn)，若 M0,$d0,或P206。U0(P0,d)199。D,f(P)M則limf(P)=+165。P174。P0(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=+165。其他類型的非正常極限，(x,y)174。 驗(yàn)證(x,y)174。(0,0)lim1=+165。.222x+二次極限:定義3．設(shè)Ex,Ey204。R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點(diǎn)，二元函數(shù)f在集合Ex180。Ey上有定義。若對每一個y206。Eyy185。y0存在極限limf(x,y)記作f(y)=limf(x,y)x174。x0x206。Ex174。x0x206。E若L=limf(y)存在，則稱此極限為二元函數(shù)f先對x后對y的累次極限y174。y0y206。Ey記作L=limlimf(y)簡記L=limlimf(y)y174。y0x174。x0y206。Eyx206。Exy174。y0x174。x0例8 f(x,y)=xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)+y2 7 例9 x2y2, 求在點(diǎn)(0 , 0)(x,y)=22x+y11+ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0) f(x,y)=:⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, (x,y)=xsin1在點(diǎn)(0 , 0)⑶ 二重極限存在時, , 由 , y)174。(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| 163。 |x|+|y|174。0 ,(x⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)222。/二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、 若二重極限推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時 , 兩個累次極限存在但不相等時 , , 另一個不存在 222。/⑵的例.(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 174。x0y174。y0作業(yè)提示: P99 4167。 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時)一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：:定義(x,y) 236。xy22 , x+y185。0 ,22239。239。x+yf(x,y)=237。239。m , x2+y2=+m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y= , 0yx2, 165。x+165。 ,例2f(x,y)=237。([1]P124 E4)0 , (x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , : 全增量、(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :定義(單元連續(xù))二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—: 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、:二元初等函數(shù) , : :.(證).(證).(證)Ex[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；P137—1381，第三篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限：x2y111)lim(4x+3y)；2）lim(x+y)sinsin；3）174。0x174。2x174。0x+yxyy174。0y174。1y174。02：若f(x，y)=xy，(x+y185。0)，求 lim233。limf(x，y)249。與lim233。limf(x，y)174。0234。25
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