一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀-在線瀏覽
2024-11-07 00:39本頁面
【正文】 且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，則方程在點 的某在點 的某一鄰域內(nèi)，并有㈡、方程組的情況 隱函數(shù)存在定理 3 ：設(shè) 某一鄰域內(nèi)、在點 的具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且，偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）：在點 點 不等于零，則方程組，在的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它們滿足條件，并有，五、方向?qū)?shù)、梯度 ㈠、方向?qū)?shù) 定義：設(shè)函數(shù)在點 的某一鄰域 內(nèi)有定義，自點 P 引射線。我們考慮函數(shù)的增量 的比與 和 兩點間的距離值。、定理：如果函數(shù) 在點 是可微分的，那么函數(shù)，在該點沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在，且有 其中 為 x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)最大值，也就是說，梯度的方向是函數(shù)在該點增長最快的方向，因此，函數(shù)在某點的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。設(shè)函數(shù) 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點，這個向量稱為函數(shù)六、多元函數(shù)的泰勒公式、極值和幾何應(yīng)用 ㈠、二元函數(shù)的泰勒公式 定理：設(shè) 的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到階在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連，都可定出一個向量在點 的梯度，即 為此鄰域內(nèi)任一點，則有一般地，記號 表示設(shè)，則上式可表示為⑴，公式⑴稱為二元函數(shù)在點的n階泰勒公式，而的表達(dá)式為拉格朗日型余項。㈢、幾何應(yīng)用、空間曲線的切線和法平面： ⑴設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為 在曲線上取相應(yīng)于 的一點，這里假設(shè) 解析幾何中有，假設(shè)三個函數(shù)都可導(dǎo)，則曲線在點 M 處的切線方程為均不為零。切線的方向向量成為曲線的切向量。⑵通過點 M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點 M 處的法平面，它是通過點而與 T 為法向量的平面，因此方程為。 1平面點集與多元函數(shù):平面點集的表示: E={(x,y)|(x,y)滿足的條件}.:⑴全平面和半平面 : {(x,y)|x179。ax+b}等.⑵ 矩形域: [a,b]180。1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，, 特別是 {(r,q)|r163。2asinq}.⑷ 角域: {(r,q)|a163。b}.⑸ 簡單域: : 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域， , 空心方鄰域與集{(x,y)|0|xx0|d , 0|yy0|d}． 點與點集的關(guān)系（集拓?fù)涞幕靖拍睿?（1）內(nèi)點、外點和界點：內(nèi)點：存在U(A)使U(A)204。E的邊界表示為182。E, 外點207。y163。[ 0 , 1 ] } , D(x)、外點和界點集.（2）(以凝聚程度分為)聚點和孤立點:聚點：A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點。E但不是聚點。[ 1 , 1 ].221x 2 4．區(qū)域：（1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE =E時稱E為開集 , 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集:（4）點集的直徑d(E)： 兩點的距離r(P1 , P2).（5）三角不等式：|x1x2|（或|y1y2|）163。R2和空集f為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點集均為區(qū)域.(x1x2)2+(y1y2)2163。R2, P0=(x0 , y0)=P0的定義(用鄰域語言)定義1。165。U(P0,e)或r(P0,Pn)e例4(xn , yn)174。xn174。y0,(n174。).例5 { Pn }, 使limPn=174。2．R2中的完備性定理：（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則:.（2）.閉域套定理:（3）.聚點原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點原理.（4）有限復(fù)蓋定理:三．二元函數(shù):、記法、圖象：： 例6 求定義域：ⅰ f(x,y)=: 例7 例8 9x2y2x2+y21。 2 二元函數(shù)的極限二重極限亦稱為全面極限定義1 設(shè)f為定義在D204。U0(P0,d)199。P0(x,y)174。(2,1)lim(x2+xy+y2)== 用“ed”定義驗證極限 lim2x174。0例3 236。(0,0),239。x2+y2239。f(x,y)=0.(用極坐標(biāo)變換)P94 (x,y)174。對D的每一個子集E , 只要點P0是E的聚點 , P174。D就有l(wèi)imf(P)=174。E推論1設(shè)E1204。P0P206。P0P206。D, (P)=A1，P174。E1P174。E2limf(P)=A2, 但A1185。P0P206。P0P206。 對D內(nèi)任一點列{ Pn }, Pn174。P0, 數(shù)列{f(Pn)}(P)不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限P174。/ 全面極限存在例4 236。(0,0),239。x2+y2(x,y)174。0 ,(x,y)=(0,0).238。(0,0)limsinxyx2ylim。(x,y)174。(0,0)limxy+11ln(1+x2+y2)。(0,0)xyx+y(x,y)174。的定義:2定義2．設(shè)f為定義在D204。U0(P0,d)199。P174。(x0,y0)limf(x,y)=+165。 驗證(x,y)174。.222x+二次極限:定義3．設(shè)Ex,Ey204。Ey上有定義。Eyy185。x0x206。x0x206。y0y206。y0x174。Eyx206。y0x174。(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| 163。0 ,(x⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)222。/⑵的例.(x,y)174。x0y174。 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時)一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：:定義(x,y) 236。0 ,22239。x+yf(x,y)=237。m , x2+y2=+m2證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y= , 0yx2, 165。 ,例2f(x,y)=237。0x174。0x+yxyy174。1y174。0)，求 lim233。與lim233。0234。235。00235。0x+(x，y)=4，證明：當(dāng)點(x，y)沿通過原點的任意直線(y=mx)趨于（0,0）時，函數(shù)f(x，y)23(x+y
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