二元函數(shù)的極限(編輯修改稿)
2024-11-15 01:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y+x+yx+y22的兩個(gè)累次極限是 yyyx+xxlimlimxy+x+yx+yxy+x+yx+yy174。0x174。0=limy174。0=lim(y1)=1y174。0=lim(x+1)=1x174。0limlimx174。0y174。0=limx174。0（２）兩個(gè)累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在 例f(x,y)=xyx+yxyx+y，兩個(gè)累次極限都存在limlimy174。0x174。0=0,limlimxyx+yx174。0y174。0=0但二重極限卻不存在，事實(shí)上若點(diǎn)P(x,)沿直線 y=kx趨于原點(diǎn)時(shí)，kxf(x,y)=x+(kx)174。k1+k二重極限存在也不能保證累次極限存在二重極限存在時(shí), f(x,y)=xsin1y+ysin1x由|f(x,y)| 163。 |x|+|y|174。0 ,(x ,y)174。(0,0).可見二重極限存在 ,但1xlimsinx174。0和limsiny174。01y不存在，從而兩個(gè)累次極限不存在。（4）二重極限極限lim(x,y)174。(x0,y0)f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存x174。x0y174。y0在 , 則必相等.(證)（5）累次極限與二重極限的關(guān)系若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等第二篇：二元函數(shù)極限的研究二元函數(shù)極限的研究作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠摘要 函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡(jiǎn)單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。關(guān)鍵詞 二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運(yùn)算定理引言函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容, 關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法, 各種教材中都有詳盡的說明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如, 在極運(yùn)算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個(gè)數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限比一元函數(shù)極限變得復(fù)雜得多, 但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念, 它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí), 函數(shù)值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問題。但是, 一 般來說, 二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限, 無論從計(jì)算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如下探討求一元函數(shù)的極限問題, 主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問題, 而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00 與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(LHO SP ital)法則。類似地, 二元函數(shù)基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便, 對(duì)它的特殊情形(即(x0,y0)=(0, 0))作出如下研究, 并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的 一個(gè)基本概念, 它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí), 函數(shù)值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問題。但是,
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