函數(shù)極限的性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-11-11 19:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，存在U0(x0)，使得對一切x206。U0(x0)有f(x)r0（或f(x)r0）證設(shè)A0，對任何r206。(0,A)，取e=Ar，則存在d0，使得對一切x206。U0(x0。d)f(x)Ae=r，這就證得結(jié)論．對于A0的情形可類似地證明．注在以后應(yīng)用局部保號性時，常取r=A．2x174。x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf(x)與都limg(x)都存在，且在某鄰域U0x0。d39。內(nèi)x174。x0()有f(x)163。g(x)則limf(x)163。limg(x)（３）x174。x0x174。x0證設(shè)limf(x)=A，limg(x)=B，則對任給的e0，分別存在正數(shù)d1與d2使x174。x0x174。x0得當(dāng)0xx0d1時有Aef(x)，當(dāng)0xx0d2 時有g(shù)(x)B+e令d=mind39。,d1,d2，則當(dāng)0xx0d時，不等式f(x)163。g(x)與(4)、(5)兩式同時成立，于是有Aef(x)163。g(x)B+e從而AB+2e．由e的任意性推出A163。B，即(3)式成立．定理3．6(迫斂性)設(shè)limf(x)=limg(x)=Ａ，且在某U0x0。d39。內(nèi)有 x174。x0x174。x0()()f(x)163。則limh(x)=A． x174。x0h(x)163。g(x)證按假設(shè)，對任給的e0，分別存在正數(shù)d1與d2，使得當(dāng)0xx0d1時有，2Aef(x)(7)當(dāng)0xx0d2時有g(shù)(x)A+e(8)令d=mind,d1,d2，則當(dāng)0xx0d時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有Aef(x)163。h(x)163。g(x)A+e由此得h(x)Ae，所以limh(x)=A x174。x0(39。)定理3．7（四則運算法則）若極限limf(x)與limg(x)都存在，則函數(shù) x174。x0x174。x0f177。g,fg當(dāng)x174。x0時極限也存在，且1)lim[f(x)177。g(x)]=limf(x)177。limg(x)； x174。x0x174。x0x174。x02）lim[f(x)g(x)]=x174。x0x174。x0limf(x)．limg(x)； x174。x0又若limg(x)185。0，則f|g當(dāng)x174。x0時極限存在，且有 x174。x03）limx174。x0f(x)=gxx174。x0limf(x)limg(x)． x174。x0這個定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計算較復(fù)雜的函數(shù)極限．例 1求limx234。x174。0235。x解當(dāng)x0時有1xx234。163。1，235。x233。1249。 233。1249。(1x=1)故由迫斂性得：xlim而limx234。=1 174。0x174。0+235。x另一方面，當(dāng)x0有1163。x234。1x，故又由迫斂性又可得：lim x234。=1 x174。0235。x235。x綜上，我們求得lim x234。=1 x174。0235。x233。1249。233。1249。233。1249。233。1249。例 2求lim(xtanx1)x174。p解由xtanx=xsinx及167。1例4所得的，cosxsixn=si=limx174。pp442=limcoxs，p2x174。4并按四則運算法則有l(wèi)imsinx(xtanx1)=limxlimx174。x174。p4p4x174。p4limcosxx174。1=limpx174。4pp14例 3求lim231。3246。230。13247。． x174。1x+1x+1232。248。解 當(dāng)x+1185。0時有(x+1)(x2)=x2133=x+1x+1x3+1x2x+1故所求的極限等于x212==1 2x174。1x2x+111+1lim例4證明lim
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