數(shù)列極限部分較難習(xí)題(編輯修改稿)
2025-09-01 07:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ,當(dāng)時,有因此,依極限定義,知 十一.(頁第9題)求解:由(見課本的推導(dǎo)) (1)故注意到故 于是 十二.(頁第4題):若有極限,則也有極限 證明:設(shè),則其中于是 (1)記,為方便起見,又記 , 則 (2)顯然有對于任意給定的。且 (3)下面證明為無窮小序列.事實上,對于，使得，只要,就有 (4)又因為對于任何給定的有,所以對這取定的,存在,使當(dāng)時,就有 ,又可取則當(dāng)時，有 (5)，當(dāng)時，有 故為無窮小序列.,所以, 第一章 函數(shù)的極限第二節(jié) 函數(shù)的極限一．函數(shù)的極限的概念 (一)當(dāng)時函數(shù)的極限：觀察下述幾個函數(shù)當(dāng)無限增大時（即）的取值規(guī)律.（1）. ；（2）.（3）.（4）.大家注意到，這四個函數(shù)當(dāng)時，都有明顯的取值規(guī)律：其中（1），無論+，還是，相應(yīng)的函數(shù)值都無限的接近同一常數(shù)0，這時，：（要會背）.但（2）中，因為當(dāng)+及時雖分別無限接近于常數(shù)1和1，但在“”這個總體極限過程中不能穩(wěn)定在同一常數(shù)附近，這時，、右側(cè)極限，它們卻是分別存在的，分別為：這里請大家務(wù)必區(qū)分開來.至于（3），隨無限增大，也無限增大，的取值永不穩(wěn)定，這時，形式地記.1．的定義（1）（描述性定義：設(shè)函數(shù)當(dāng)(其中為常數(shù))時有定義，如果隨無限增大時，相應(yīng)的的值就無限地接近某一常數(shù)A，則稱當(dāng)“”時有極限A（或收斂于A）.記為：或.（2）（精確的數(shù)學(xué)定義）：設(shè)函數(shù)當(dāng)(其中為常數(shù))時有定義，如果對,（無論它多?。┒?，使當(dāng)時，都有： ,則稱當(dāng)“”時有極限A（或收斂于A）.記為：或.注意：（1）.請大家思考一下單側(cè)極限 應(yīng)如何定義？ （2）.的幾何解釋（作圖說明）：對，在平面上分別作兩條平行直線，則必存在,使當(dāng)時，函數(shù)的圖形總位于這兩條平行直線之間.（3）.由引例，顯然有 定理1. （4）.請記?。豪?．證明：證明：對，要使由故取，則當(dāng)時，就有.依定義：.（二）當(dāng)時函數(shù)的極限：觀察下述幾個函數(shù)當(dāng)時的取值規(guī)律（1）；（2）（3）.2．的定義（1）（描述性的定義），相應(yīng)地的值就無限地接近某一個常數(shù)A，這時，就稱函數(shù)在點處有極限（或收斂于）：或.（2）（精確的數(shù)學(xué)定義）：設(shè)函數(shù)在的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果對（無論它多小），都，使當(dāng)時（即時）都有，這時，就稱函數(shù)在點處有極限（或收斂于）：或.注意：（1）上述定義中為何要強調(diào)“去心鄰域”？（2）仿上述精確的數(shù)學(xué)定義，如何定義單側(cè)極限？（3
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