數(shù)列極限的解法(15種)(編輯修改稿)
2025-07-22 02:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一種簡(jiǎn)便的求極限方法，特別對(duì)分子、分母為求和型，（LHospita）法則.8．利用級(jí)數(shù)求和求數(shù)列極限。由于數(shù)列與級(jí)數(shù)在形式上的統(tǒng)一性，有時(shí)數(shù)列極限的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)求和，從而通過(guò)級(jí)數(shù)求和的知識(shí)使問(wèn)題得到解決. ，（a1） 解：令，則，考慮級(jí)數(shù).，∴此級(jí)數(shù)收斂. 令=，再令=，∵ ∴==而 因此，原式=.9．利用級(jí)數(shù)收斂性判斷極限存在。由于級(jí)數(shù)與數(shù)列在形式上可以相互轉(zhuǎn)化，使得級(jí)數(shù)與數(shù)列的性質(zhì)有了內(nèi)在的密切聯(lián)系．因此．?dāng)?shù)列極限的存在性及極限值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為研究級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題．， ...(1),證明數(shù)列收斂，并求極限證：∵，可得 令則，考慮級(jí)數(shù)， 由于== 所以級(jí)數(shù)收斂，從而收斂.令=，∵存在 ∴存在對(duì)（1）式兩邊取極限有，∴或（舍）∴=..（此極限值稱為常數(shù)）證：設(shè)，則= 對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理得，所以因?yàn)?收斂，由比較判別法知也收斂，所以存在，即存在.10．利用冪級(jí)數(shù)求極限利用簡(jiǎn)單的初等函數(shù)(特別是基本初等函數(shù))的麥克勞林展開式，常常易求出一些特殊形式的數(shù)列極限．解：對(duì)于固定的x，當(dāng)時(shí)，單調(diào)趨于無(wú)窮，由施篤茲公式，有 ===拉格朗日中值定理是微分學(xué)重要的基本定理，它利用函數(shù)的局部性質(zhì)來(lái)研究函數(shù)的整體性質(zhì)，．， 解：設(shè)，在應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 ，故當(dāng)時(shí)，可知 原式=.。引理：數(shù)列收斂于的充要條件是：數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列．注：上述引理說(shuō)明，若，則可作“變量”替換：令，其中是一無(wú)窮小數(shù)列.定理1 ：若數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列，反之亦成立．定理2 ：若數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列．推論1 ：設(shè)數(shù)列為無(wú)窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無(wú)窮小數(shù)列．例18.(算數(shù)平均收斂公式)設(shè)，求極限. 解：由，作“變量”代換，令，==. 此題還可以用方法一（定義法）證明，也可通過(guò)方法七（施篤茲公式）求得，此略.，求極限.
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