數(shù)列極限的解法(15種)(完整版)
【正文】 事實(shí)上， 由（1）（2）證得單調(diào)遞增有上界，從而存在，對(duì)（1）式兩邊取極限得 ,解得和（舍去）.4．利用迫斂性準(zhǔn)則（即兩邊夾法）迫斂性：設(shè)數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有，則數(shù)列收斂，且.解：記，則 由迫斂性得=.注：迫斂性在求數(shù)列極限中應(yīng)用廣泛，常與其他各種方法綜合使用，起著基礎(chǔ)性的作用.5．利用定積分的定義計(jì)算極限黎曼積分定義：設(shè)為定義在上的一個(gè)函數(shù)，J為一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任意分割T,以及在其上任意選取的點(diǎn)集,只要T，就有，則稱函數(shù)在上（黎曼）可積，數(shù)J為在上的定積分，記作.例7. 解：原式= = = 解：因?yàn)橛? =同理由迫斂性得=.注：數(shù)列極限為“有無窮多項(xiàng)無窮小的和的數(shù)列極限，且每項(xiàng)的形式很規(guī)范”這一類型問題時(shí)，這時(shí)需要綜合運(yùn)用迫斂性準(zhǔn)則等方法進(jìn)行討論。定義2：若存在一個(gè)常數(shù)，且，使得有，則稱是上的一個(gè)壓縮映射。由于級(jí)數(shù)與數(shù)列在形式上可以相互轉(zhuǎn)化，使得級(jí)數(shù)與數(shù)列的性質(zhì)有了內(nèi)在的密切聯(lián)系．因此．?dāng)?shù)列極限的存在性及極限值問題，可轉(zhuǎn)化為研究級(jí)數(shù)收斂性問題．， ...(1),證明數(shù)列收斂，并求極限證：∵，可得 令則，考慮級(jí)數(shù)， 由于== 所以級(jí)數(shù)收斂，從而收斂.令=，∵存在 ∴存在對(duì)（1）式兩邊取極限有，∴或（舍）∴=..（此極限值稱為常數(shù)）證：設(shè)，則= 對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理得，所以因?yàn)?收斂，由比較判別法知也收斂，所以存在，即存在.10．利用冪級(jí)數(shù)求極限利用簡單的初等函數(shù)(特別是基本初等函數(shù))的麥克勞林展開式，常常易求出一些特殊形式的數(shù)列極限．解：對(duì)于固定的x，當(dāng)時(shí)，單調(diào)趨于無窮，由施篤茲公式，有 ===拉格朗日中值定理是微分學(xué)重要的基本定理，它利用函數(shù)的局部性質(zhì)來研究函數(shù)的整體性質(zhì)，．， 解：設(shè)，在應(yīng)用
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